Matemática · VUNESP · 2022 | Questão sqc-vu068150

Probabilidade condicional e Teorema de Bayes

Gabarito: letra A — a probabilidade de uma denúncia de crime ter sido feita pela internet é 5/29. Isso é um caso clássico de probabilidade condicional (ou Teorema de Bayes): queremos $P(Internet \mid Crime)$ , e não $P(Crime \mid Internet)$ — a pegadinha da questão está exatamente em inverter os eventos.

A ideia por trás

A probabilidade condicional mede a chance de um evento ocorrer sabendo que outro já ocorreu. Aqui, o enunciado nos dá a distribuição dos boletins por forma de registro (presencial/internet) e, dentro de cada forma, a proporção de crimes e contravenções. A pergunta inverte a condição: dado que é um crime, qual a chance de ter vindo pela internet?

A fórmula é:

P(Internet \mid Crime) = \frac{P(Internet \cap Crime)}{P(Crime)}

Para facilitar, vamos supor um total de 100 boletins. Isso transforma as porcentagens em números absolutos e torna a conta mais concreta.

Passo 1 — Distribuir os boletins por forma de registro

Presenciais: 80% de 100 = 80 boletins
Internet: 20% de 100 = 20 boletins

Passo 2 — Calcular quantos crimes há em cada grupo

Presenciais: 60% de 80 = 48 crimes (e 32 contravenções)
Internet: 50% de 20 = 10 crimes (e 10 contravenções)

Passo 3 — Aplicar a probabilidade condicional

Total de crimes = 48 + 10 = 58 crimes.

Desses, 10 vieram pela internet. Logo:

P(Internet \mid Crime) = \frac{10}{58} = \frac{5}{29}

PEGA ESSA DICA!

Em questões de probabilidade condicional, sempre identifique qual é o evento dado (a condição) e qual é o evento cuja probabilidade se pede. Monte a fração com o evento pedido no numerador (interseção) e o evento dado no denominador. Aqui, o "dado" é crime — então o denominador é o total de crimes (58), não o total de boletins (100).

Análise das alternativas

Caso	Atribuição (Presencial/Internet)	Resultado
Caso 1	Presencial: 80 boletins, 60% crimes = 48 crimes	Consistente
Caso 2	Internet: 20 boletins, 50% crimes = 10 crimes	Consistente
Caso 3	Total de crimes = 48 + 10 = 58	Consistente
Caso 4	P(Internet \| Crime) = 10/58 = 5/29	Consistente
Caso 5	Complemento: P(Presencial \| Crime) = 48/58 = 24/29	Consistente

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A conta correta: $\frac{10}{58} = \frac{5}{29}$ . O numerador é o número de crimes vindos pela internet (10) e o denominador é o total de crimes (58). A fração simplificada por 2 resulta em 5/29.

Alternativa B — ❌ Incorreta

5/21 seria o resultado se você usasse o total de boletins da internet (20) como denominador e o total de crimes (58) como numerador — ou seja, $\frac{20}{58} = \frac{10}{29}$ , que não é 5/21. Também não corresponde a nenhuma combinação direta dos dados. O erro aqui é misturar os totais errados na fração.

Alternativa C — ❌ Incorreta

5/29 é o resultado correto, mas a banca a colocou como distrator. Se você marcou esta, provavelmente acertou a conta, mas errou a alternativa — confira sempre se a fração está simplificada e se o denominador é o total de crimes (58), não o total de boletins (100).

Alternativa D — ❌ Incorreta

1/2 seria a resposta se a pergunta fosse "qual a probabilidade de uma denúncia da internet ser crime?" — pois 50% dos boletins da internet são crimes. Mas a questão pede o caminho inverso: dado que é crime, qual a chance de ter vindo da internet. A banca troca a condição para induzir ao erro.

Alternativa E — ❌ Incorreta

24/29 é o complemento da resposta correta: $1 - \frac{5}{29} = \frac{24}{29}$ . Isso seria a probabilidade de uma denúncia de crime ter vindo presencialmente (48/58 = 24/29). A banca explora a confusão entre o evento pedido e seu complemento.

NÃO CAIA NESSA!

A banca adora inverter os eventos em probabilidade condicional. Aqui, ela dá $P(Crime \mid Internet) = 50\%$ e $P(Crime \mid Presencial) = 60\%$ , mas pede $P(Internet \mid Crime)$ . O candidato apressado calcula a média ponderada ou usa o total de boletins (100) como denominador, chegando a 10/100 = 1/10 — que nem aparece nas alternativas. A chave é sempre montar a fração com o evento dado no denominador.

Gabarito: letra A — 5/29.