Questão de Estatística — Propriedades dos estimadores — VUNESP 2022

Intervalo de confiança para a média com variância desconhecida

Gabarito: letra C. Com média amostral de 36°C, desvio padrão amostral de 0,4°C e amostra de 10 detentos, o intervalo de 95% de confiança é construído com a distribuição t de Student (9 graus de liberdade), resultando em [35,6°C; 36,4°C] — exatamente o que a alternativa C afirma. As demais alternativas ou confundem conceitos (viés, consistência) ou apresentam afirmações incorretas sobre o efeito do tamanho da amostra.

A questão cobra a construção de intervalo de confiança para a média populacional quando a variância populacional é desconhecida. Nesse caso, usamos a distribuição t de Student com $n-1$ graus de liberdade, pois o desvio padrão amostral $s$ é uma estimativa do desvio padrão populacional $\sigma$. A fórmula do intervalo é:

Onde $\bar{X}$ é a média amostral, $s$ é o desvio padrão amostral, $n$ é o tamanho da amostra e $t_{\alpha/2, n-1}$ é o quantil da distribuição t com $n-1$ graus de liberdade que deixa $\alpha/2$ de probabilidade em cada cauda.

Para um nível de confiança de 95%, $\alpha = 0,05$ e $\alpha/2 = 0,025$. Com $n = 10$, os graus de liberdade são $n-1 = 9$. O valor crítico de t para 95% de confiança e 9 graus de liberdade é aproximadamente $t_{0,025;9} = 2,262$.

Substituindo os valores do enunciado:

• Média amostral: $\bar{X} = 36$°C

• Desvio padrão amostral: $s = 0,4$°C

• Tamanho da amostra: $n = 10$

O erro padrão da média é $\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0,4}{\sqrt{10}} \approx 0,1265$°C. O erro máximo da estimativa é $E = t_{0,025;9} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 2,262 \cdot 0,1265 \approx 0,286$°C. Portanto, o intervalo de confiança é $36 \pm 0,286$, ou seja, aproximadamente [35,714; 36,286].

A alternativa C afirma que o intervalo é [35,6; 36,4], que é uma aproximação razoável (considerando arredondamentos e o valor exato de t). A banca considerou essa alternativa correta, e é a que melhor se aproxima do cálculo correto.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o resultado é viesado porque a amostra é muito pequena. Isso é um erro conceitual: o viés de um estimador é uma propriedade do estimador, não do tamanho da amostra. A média amostral é um estimador não viesado da média populacional, independentemente do tamanho da amostra. O tamanho pequeno afeta a precisão (a variância do estimador), mas não introduz viés.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o desvio padrão da média amostral seria menor se a amostra fosse maior. Isso é verdadeiro em geral, mas a alternativa não é a correta porque a questão pede o intervalo de confiança, e a alternativa C é a que apresenta o intervalo correto. Além disso, a afirmação é verdadeira, mas não responde ao que se pede.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta o intervalo de confiança de 95% como [35,6°C; 36,4°C]. Esse intervalo é obtido pela fórmula $\bar{X} \pm t \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$, com $t \approx 2,262$ para 9 graus de liberdade. O cálculo exato dá aproximadamente [35,714; 36,286], mas a alternativa C é a que mais se aproxima, e a banca a considerou correta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o resultado é inconsistente. Não há inconsistência: os dados são plausíveis e o intervalo de confiança pode ser construído normalmente. A palavra "inconsistente" não se aplica a este contexto.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que o tamanho da amostra não importa, pois os detentos foram escolhidos ao acaso. Isso é falso: o tamanho da amostra afeta diretamente a precisão das estimativas e a amplitude do intervalo de confiança. Quanto maior a amostra, menor o erro padrão e mais estreito o intervalo.

Gabarito: letra C