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Questão de Matemática — Probabilidade — VUNESP 2022

MatemáticaProbabilidade
Código
vu068369
Banca
VUNESP
Órgão
PC-RR
Ano
2022
Nível
Superior
Cargo
Perito Papiloscopista
Suponha que, no sistema prisional, entre os que cumprem pena, 60% estão em regime fechado e 40% em regime aberto. Entre os que estão em regime fechado, 75% são homens e 25% são mulheres. Já entre os que estão em regime aberto, 50% são homens e 50% são mulheres. Se uma pessoa que cumpre pena é mulher, qual a probabilidade que esteja em regime fechado?
  1. A1/4.
  2. B1/3.
  3. C3/7.
  4. D4/7.
  5. E1/2.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 4/7.

Esta resolução diverge do gabarito oficial. A banca deu Letra D; a resolução abaixo sustenta o contrário e explica por quê — ela não foi reescrita para concordar. Acontece nos dois sentidos: há gabarito que cai em recurso e há resolução que erra. Confira na fonte antes de fixar o entendimento.
Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 3/7 (alternativa C).

A ideia por trás

A probabilidade condicional mede a chance de um evento ocorrer dado que outro já ocorreu. Ela é calculada dividindo a probabilidade da interseção dos dois eventos pela probabilidade do evento condicionante. Nesta questão, o evento condicionante é 'ser mulher' e o evento de interesse é 'estar em regime fechado'. A fórmula é P(Fechado|Mulher) = P(Fechado ∩ Mulher) / P(Mulher). Para aplicar, precisamos encontrar quantas mulheres estão no regime fechado e quantas mulheres existem no total, o que pode ser feito supondo uma população de 100 pessoas.

O que a questão dá

  • 60% em regime fechado

  • 40% em regime aberto

  • 75% dos fechados são homens

  • 25% dos fechados são mulheres

  • 50% dos abertos são homens

  • 50% dos abertos são mulheres

O que queremos: a probabilidade de uma pessoa que cumpre pena, sabendo que é mulher, estar em regime fechado

Passo 1 — Supor 100 pessoas no total

Para transformar porcentagens em números absolutos, é mais fácil supor um total de 100 pessoas. Isso não altera a probabilidade, pois ela é uma razão.

100 pessoas\boxed{100\ \text{pessoas}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de supor um total e tentar trabalhar só com porcentagens, o que dificulta a visualização.

Passo 2 — Calcular quantos estão em cada regime

Com o total de 100, calculamos quantas pessoas estão em regime fechado e aberto, pois esses números serão usados para achar as quantidades de mulheres.

Por que esta fórmula: Para achar a quantidade em cada regime, multiplicamos a porcentagem pelo total.

Nfechado=0,60×100N_{fechado} = 0{,}60 \times 100

De onde vem cada valor: 0,600{,}60 = enunciado: 60% em regime fechado · 100100 = passo 1

Nfechado=0,60×100=60 pessoasN_{fechado} = 0{,}60 \times 100 = \boxed{60\ \text{pessoas}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 60% como 60 em vez de 0,60, mas aqui o total é 100, então 60% de 100 é 60, o que está correto.

Passo 3 — Calcular mulheres no regime fechado

Precisamos saber quantas mulheres estão no regime fechado, pois isso é a interseção entre 'ser mulher' e 'estar em regime fechado'.

Por que esta fórmula: Dentro do regime fechado, 25% são mulheres, então multiplicamos a porcentagem pelo número de pessoas no regime fechado.

Mfechado=0,25×60M_{fechado} = 0{,}25 \times 60

De onde vem cada valor: 0,250{,}25 = enunciado: 25% dos fechados são mulheres · 6060 = passo 2

Mfechado=0,25×60=15 mulheresM_{fechado} = 0{,}25 \times 60 = \boxed{15\ \text{mulheres}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir e usar 75% (homens) em vez de 25%.

Passo 4 — Calcular mulheres no regime aberto

Precisamos saber quantas mulheres estão no regime aberto para somar com as do fechado e obter o total de mulheres.

Por que esta fórmula: No regime aberto, 50% são mulheres, então multiplicamos a porcentagem pelo número de pessoas no regime aberto.

Maberto=0,50×40M_{aberto} = 0{,}50 \times 40

De onde vem cada valor: 0,500{,}50 = enunciado: 50% dos abertos são mulheres · 4040 = passo 2 (40% de 100)

Maberto=0,50×40=20 mulheresM_{aberto} = 0{,}50 \times 40 = \boxed{20\ \text{mulheres}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de calcular o número de pessoas no regime aberto (40) antes de multiplicar.

Passo 5 — Somar o total de mulheres

O total de mulheres é a soma das mulheres nos dois regimes, que será o denominador da probabilidade condicional.

Por que esta fórmula: O total de mulheres é a soma das mulheres em cada regime.

Mtotal=Mfechado+MabertoM_{total} = M_{fechado} + M_{aberto}

De onde vem cada valor: MfechadoM_{fechado} = passo 3: 15 · MabertoM_{aberto} = passo 4: 20

Mtotal=15+20=35 mulheresM_{total} = 15 + 20 = \boxed{35\ \text{mulheres}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar e usar apenas as mulheres do regime fechado.

Passo 6 — Calcular a probabilidade condicional

A probabilidade de estar em regime fechado dado que é mulher é a razão entre as mulheres no regime fechado e o total de mulheres.

Por que esta fórmula: A fórmula da probabilidade condicional é P(A|B) = P(A∩B)/P(B). Aqui, A é 'estar em regime fechado' e B é 'ser mulher'. A interseção é o número de mulheres no regime fechado, e P(B) é o total de mulheres.

P(Fechado∣Mulher)=MfechadoMtotalP(Fechado|Mulher) = \frac{M_{fechado}}{M_{total}}

De onde vem cada valor: MfechadoM_{fechado} = passo 3: 15 · MtotalM_{total} = passo 5: 35

P(Fechado∣Mulher)=1535=3 /7P(Fechado|Mulher) = \frac{15}{35} = \boxed{3\ /7}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a condição: calcular P(Mulher|Fechado) = 25% em vez de P(Fechado|Mulher).

Resposta: 3/7 (alternativa C)

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