Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — VUNESP 2022

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 4 funcionários (alternativa E).

A ideia por trás

Em problemas de conjuntos, usamos o diagrama de Venn para organizar as informações sobre grupos que podem se sobrepor. Cada região do diagrama representa um grupo específico de elementos (aqui, funcionários) que possuem certas características. A soma de todas as regiões deve ser igual ao total de elementos. Quando o enunciado diz que 'quem sabe cuidar de boi também sabe cuidar de cavalo', isso significa que o conjunto dos que sabem bois está totalmente dentro do conjunto dos que sabem cavalos, então não existem funcionários que saibam bois sem saber cavalos. Nesta questão, precisamos traduzir cada frase do enunciado em uma região do diagrama e usar a soma total para descobrir o valor desconhecido.

O que a questão dá

• total de funcionários = 14

• apenas 1 sabe cuidar das três espécies

• 5 funcionários só sabem cuidar de cachorros

• quem sabe cuidar de boi também sabe cuidar de cavalo

• o funcionário que sabe cuidar de cavalos e cachorros também sabe bois

• número de funcionários que cuidam apenas de cavalos = número dos que cuidam apenas de cavalos e bois

O que queremos: o número de funcionários que sabem cuidar apenas de cavalos

Passo 1 — Desenhar o diagrama de Venn

Para visualizar as relações entre os grupos, desenhamos três círculos que se intersectam, representando cavalos, bois e cachorros. Cada região do diagrama corresponde a uma combinação de habilidades. Isso ajuda a organizar as informações e a identificar quais regiões são zero.

Passo 2 — Identificar as regiões que são zero

O enunciado diz que quem sabe cuidar de boi também sabe cuidar de cavalo, então não pode haver funcionários que saibam bois sem saber cavalos. Isso zera as regiões 'apenas bois' e 'bois e cachorros (sem cavalos)'. Além disso, o funcionário que sabe cavalos e cachorros também sabe bois, então a região 'cavalos e cachorros (sem bois)' também é zero.

Passo 3 — Atribuir variáveis às regiões restantes

Agora que sabemos quais regiões são zero, precisamos nomear as regiões que podem ter valores. Vamos chamar de 'a' o número de funcionários que sabem apenas cavalos, 'd' o número dos que sabem cavalos e bois (mas não cachorros), 'c' o número dos que sabem apenas cachorros, e 'g' o número dos que sabem as três espécies. Isso nos permite montar uma equação com o total.

Passo 4 — Substituir os valores conhecidos

O enunciado fornece alguns valores diretamente: c = 5 (só cachorros) e g = 1 (as três espécies). Também sabemos que a = d (o número de apenas cavalos é igual ao de cavalos e bois). Substituímos esses valores na equação do total para simplificar.

Passo 5 — Montar a equação do total

A soma de todas as regiões do diagrama deve ser igual ao total de funcionários, que é 14. Como as regiões b, e, f são zero, a soma é a + d + c + g. Substituímos c = 5, g = 1 e a = d, ficando a + a + 5 + 1 = 14.

Por que esta fórmula: A equação do total é a soma de todas as regiões do diagrama de Venn. Como o total é dado, essa equação nos permite encontrar o valor desconhecido.

De onde vem cada valor: $a$ = passo 3 · $d$ = passo 3 · $c$ = enunciado: 5 funcionários só sabem cuidar de cachorros · $g$ = enunciado: apenas 1 sabe cuidar das três espécies

Passo 6 — Resolver a equação para a

Agora temos uma equação simples com uma incógnita. Somamos os termos semelhantes e isolamos a para encontrar seu valor.

Por que esta fórmula: A equação 2a + 6 = 14 é uma equação linear simples. Para resolver, subtraímos 6 de ambos os lados e depois dividimos por 2.

De onde vem cada valor: $2a$ = passo 5: a + a · $6$ = passo 5: 5 + 1 · $14$ = enunciado: total de funcionários

Resposta: 4 funcionários (alternativa E)