Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Progressões — VUNESP 2022

MatemáticaProgressões
Código
vu068614
Banca
VUNESP
Órgão
PC-SP
Ano
2022
Nível
Superior
Cargo
Investigador de Polícia
Os elementos de uma sequência são tais que, do segundo elemento em diante, cada um é igual ao anterior somado a uma constante positiva r. Sabendo que essa sequência tem 100 números e que os dois menores elementos são iguais a –21 e –16, o valor da soma de r com o maior termo dessa sequência é igual a
  1. A479.
  2. B464.
  3. C469.
  4. D484.
  5. E474.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 479.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 479 (alternativa A).

A ideia por trás

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma constante r ao anterior. Essa constante é chamada de razão e determina o crescimento (se positiva) ou decrescimento (se negativa) da sequência. O termo geral de uma PA é dado por aₙ = a₁ + (n-1)·r, onde a₁ é o primeiro termo, n é a posição do termo e r é a razão. Essa fórmula permite calcular qualquer termo conhecendo o primeiro e a razão. Nesta questão, a sequência é crescente (r > 0), então o maior termo é o último, ou seja, o 100º termo. Precisamos encontrar a razão a partir dos dois menores termos e depois calcular o 100º termo, somando a razão a ele.

O que a questão dá

  • sequência com 100 números

  • do segundo em diante, cada termo é o anterior somado a r (constante positiva)

  • dois menores elementos: –21 e –16

O que queremos: o valor da soma de r com o maior termo da sequência

Passo 1 — Descobrir a razão r

A razão é a diferença entre dois termos consecutivos. Como os dois menores termos são –21 e –16 e a sequência é crescente, eles são o 1º e o 2º termos. A razão é o quanto se soma para passar de um para o outro.

Por que esta fórmula: A definição de razão em uma PA é a diferença entre um termo e seu antecessor: r = a₂ – a₁.

r=a2−a1r = a_2 - a_1

De onde vem cada valor: a2a_2 = enunciado: –16 (segundo menor termo) · a1a_1 = enunciado: –21 (primeiro menor termo)

r=−16−(−21)r = -16 - (-21)
r=5r = \boxed{5}
NÃO CAIA NESSA!

Fazer –16 – 21 = –37, esquecendo que subtrair um número negativo equivale a somar.

Passo 2 — Calcular o maior termo (100º)

Como a razão é positiva, a sequência é crescente, então o maior termo é o último, o 100º. Usamos a fórmula do termo geral para encontrá-lo.

Por que esta fórmula: O termo geral da PA relaciona o primeiro termo, a posição e a razão: aₙ = a₁ + (n-1)·r. É a fórmula que permite achar qualquer termo sem listar todos.

a100=a1+(100−1)⋅ra_{100} = a_1 + (100-1) \cdot r

De onde vem cada valor: a1a_1 = passo 1: –21 · rr = passo 1: 5 · 100100 = enunciado: a sequência tem 100 números

a100=−21+99⋅5a_{100} = -21 + 99 \cdot 5
a100=474a_{100} = \boxed{474}
NÃO CAIA NESSA!

Usar n = 99 em vez de 100, ou esquecer de multiplicar 99 por 5 corretamente.

Passo 3 — Somar r ao maior termo

A questão pede a soma de r com o maior termo, não apenas o maior termo. Precisamos fazer essa adição final.

Por que esta fórmula: A operação pedida é uma simples adição: r + a₁₀₀.

S=r+a100S = r + a_{100}

De onde vem cada valor: rr = passo 1: 5 · a100a_{100} = passo 2: 474

S=5+474S = 5 + 474
S=479S = \boxed{479}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar r e marcar 474 (alternativa E).

Resposta: 479 (alternativa A)

Link permanente: /questoes/vu068614