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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2023

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
vu072679
Banca
VUNESP
Órgão
CAMPREV - SP
Ano
2023
Nível
Médio
Cargo
Agente Administrativo
Patrícia completou as 4 fases de um jogo eletrônico. Obteve um determinado número de pontos na primeira fase e, a cada fase seguinte completada, obteve o dobro do número de pontos obtidos na fase imediatamente anterior. Se, na quarta fase, ela obteve 120 pontos a mais que o número de pontos obtidos na terceira fase, então o número total de pontos obtidos por Patrícia, nesse jogo, foi igual a
  1. A600.
  2. B580.
  3. C500.
  4. D450.
  5. E400.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 450.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 450 pontos (alternativa D).

A ideia por trás

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão constante. Aqui, a razão é 2, pois cada fase tem o dobro de pontos da anterior. Se o primeiro termo é x, os termos são x, 2x, 4x, 8x. A diferença entre o quarto e o terceiro termo é 8x - 4x = 4x, que o enunciado diz ser 120. Isso permite achar x e depois somar os quatro termos. Nesta questão, a chave é usar a diferença dada para descobrir o valor inicial e então calcular o total.

O que a questão dá

  • 4 fases completadas

  • a cada fase, o dobro da anterior

  • 4ª fase = 3ª fase + 120 pontos

O que queremos: o número total de pontos obtidos por Patrícia

Passo 1 — Montar a sequência de pontos

Precisamos representar os pontos de cada fase de forma algébrica para poder usar a informação da diferença. Como cada fase dobra a anterior, a sequência é uma progressão geométrica de razão 2.

Por que esta fórmula: Em uma PG de razão 2, se o primeiro termo é x, o segundo é 2x, o terceiro é 4x e o quarto é 8x, pois cada termo é o dobro do anterior.

a1=x,a2=2x,a3=4x,a4=8xa_1 = x, a_2 = 2x, a_3 = 4x, a_4 = 8x

De onde vem cada valor: xx = incógnita que representa os pontos da 1ª fase · a2a_2 = dobro de a_1 · a3a_3 = dobro de a_2 · a4a_4 = dobro de a_3

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a razão é 2 e montar a sequência como x, x+2, x+4, etc.

Passo 2 — Usar a diferença entre a 4ª e a 3ª fase

O enunciado diz que a 4ª fase tem 120 pontos a mais que a 3ª. Essa diferença é a chave para achar x, pois conhecemos a expressão algébrica de cada fase.

Por que esta fórmula: A diferença entre o quarto e o terceiro termo é 8x - 4x = 4x. Igualamos a 120 para montar a equação.

8x−4x=1208x - 4x = 120

De onde vem cada valor: 8x8x = pontos da 4ª fase (passo 1) · 4x4x = pontos da 3ª fase (passo 1) · 120120 = enunciado: 120 pontos a mais

4x=1204x = 120
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a diferença com o valor de uma fase, achando que a 3ª fase vale 120.

Passo 3 — Calcular o valor de x

Com a equação 4x = 120, isolamos x para descobrir os pontos da primeira fase.

Por que esta fórmula: Dividimos ambos os lados por 4 para isolar x.

x=1204x = \frac{120}{4}

De onde vem cada valor: 120120 = passo 2 · 44 = coeficiente de x na equação

x=30=30 pontosx = 30 = \boxed{30\ \text{pontos}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir 120 por 2 em vez de 4, achando x = 60.

Passo 4 — Calcular os pontos de cada fase

Com x = 30, substituímos na sequência para obter os pontos de cada fase.

Por que esta fórmula: Usamos as expressões do passo 1: a_1 = x, a_2 = 2x, a_3 = 4x, a_4 = 8x.

a1=30,a2=2⋅30,a3=4⋅30,a4=8⋅30a_1 = 30, a_2 = 2 \cdot 30, a_3 = 4 \cdot 30, a_4 = 8 \cdot 30

De onde vem cada valor: 3030 = passo 3 · 2,4,82, 4, 8 = razão da PG (dobro a cada fase)

a1=30,a2=60,a3=120,a4=240=30 ,60,120,240pontosa_1 = 30, a_2 = 60, a_3 = 120, a_4 = 240 = \boxed{30\ , 60, 120, 240 \text{pontos}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar x = 30 mas errar a multiplicação, por exemplo, a_3 = 3*30 = 90.

Passo 5 — Somar os pontos das quatro fases

O problema pede o total de pontos, então somamos os valores de cada fase.

Por que esta fórmula: A soma dos termos de uma sequência é a adição de todos eles.

S=a1+a2+a3+a4S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4

De onde vem cada valor: a1a_1 = passo 4: 30 · a2a_2 = passo 4: 60 · a3a_3 = passo 4: 120 · a4a_4 = passo 4: 240

S=30+60+120+240=450 pontosS = 30 + 60 + 120 + 240 = \boxed{450\ \text{pontos}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar uma das fases, como 30+60+120 = 210.

Resposta: 450 pontos (alternativa D)

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