Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2023

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 36 garrafas (alternativa B).

A ideia por trás

Este problema trata de equações do 1º grau, que são igualdades matemáticas usadas para descobrir um valor desconhecido a partir de relações entre quantidades. No mundo real, isso serve para resolver situações em que conhecemos algumas relações, mas não os valores exatos, como aqui: sabemos que havia o dobro de tintos que de brancos, e que após vender algumas garrafas as quantidades ficaram iguais. A equação do 1º grau tem a forma ax + b = c, e resolvê-la significa encontrar o valor de x que torna a igualdade verdadeira. A relação que governa é a igualdade entre as quantidades restantes: se inicialmente há x brancos e 2x tintos, após vender 3 brancos e 15 tintos, restam x - 3 brancos e 2x - 15 tintos. Como essas quantidades são iguais, montamos a equação 2x - 15 = x - 3. Quando x cresce, tanto o número de tintos quanto o de brancos crescem, mas a diferença entre eles é sempre x, então a equação captura o equilíbrio após as vendas. Nesta questão, precisamos montar essa equação, resolvê-la para achar x, e depois calcular o total inicial somando x e 2x.

O que a questão dá

• número de tintos = dobro do número de brancos

• vendeu 3 brancos e 15 tintos

• restantes ficaram iguais

O que queremos: o número total de garrafas de vinho que havia inicialmente

Passo 1 — Definir a incógnita x

Precisamos de um ponto de partida para representar as quantidades desconhecidas. Como o número de tintos é o dobro do de brancos, escolhemos x para o número de brancos, e assim o de tintos fica 2x, facilitando as contas.

Passo 2 — Montar a equação de igualdade

Após as vendas, as quantidades restantes de brancos e tintos são iguais. Isso nos dá uma relação matemática: o que sobrou de brancos (x - 3) é igual ao que sobrou de tintos (2x - 15). Essa igualdade é a chave para encontrar x.

Por que esta fórmula: A equação 2x - 15 = x - 3 vem diretamente do enunciado: inicialmente tintos = 2x, brancos = x; após vender 15 tintos e 3 brancos, restam 2x - 15 e x - 3, e o problema diz que são iguais.

De onde vem cada valor: $2x$ = passo 1: número inicial de tintos · $15$ = enunciado: vendeu 15 tintos · $x$ = passo 1: número inicial de brancos · $3$ = enunciado: vendeu 3 brancos

Passo 3 — Isolar x na equação

Para descobrir o valor de x, precisamos deixá-lo sozinho em um lado da igualdade. Isso é feito movendo os termos: subtraímos x dos dois lados e somamos 15, mantendo o equilíbrio da equação.

Por que esta fórmula: A equação é do 1º grau, então resolvemos isolando x: subtraímos x de ambos os lados para agrupar os termos com x, e depois somamos 15 para eliminar o -15 do lado esquerdo.

De onde vem cada valor: $2x$ = passo 2 · $x$ = passo 2 · $15$ = passo 2 · $3$ = passo 2

Passo 4 — Calcular o número de tintos

Já sabemos quantos brancos havia (x = 12). Como o número de tintos é o dobro, precisamos calcular 2x para depois somar e obter o total.

Por que esta fórmula: O enunciado diz que o número de tintos é o dobro do de brancos, então tintos = 2 * brancos.

De onde vem cada valor: $2$ = enunciado: dobro · $x$ = passo 3: x = 12

Passo 5 — Somar brancos e tintos

O problema pede o total inicial de garrafas, que é a soma das quantidades de brancos e tintos. Com os valores em mãos, basta somar.

Por que esta fórmula: O total é a soma das partes: total = brancos + tintos.

De onde vem cada valor: $x$ = passo 3: 12 · $2x$ = passo 4: 24

Resposta: 36 garrafas (alternativa B)