Questão de Estatística — Estatística descritiva (análise exploratória de dados) — VUNESP 2023

Distribuição qui-quadrado: soma de quadrados de normais padrão

Gabarito: letra B. Quando $X_1, X_2, \dots, X_n$ são variáveis aleatórias independentes com distribuição normal padrão $N(0,1)$, a soma dos seus quadrados $Y = X_1^2 + X_2^2 + \dots + X_n^2$ segue, por definição, uma distribuição qui-quadrado com $n$ graus de liberdade ($\chi^2_n$). Essa é a própria definição da distribuição qui-quadrado, que é um caso particular da distribuição gama.

A distribuição qui-quadrado é uma das distribuições contínuas mais importantes da inferência estatística, pois está na base dos intervalos de confiança e testes de hipóteses sobre variâncias, além do teste de aderência e de independência. A definição formal é exatamente a que o enunciado descreve: a soma dos quadrados de variáveis normais padrão independentes. Cada termo $X_i^2$ contribui com um grau de liberdade, e como são independentes, os graus de liberdade se somam. Assim, com $n$ variáveis, temos $\chi^2$ com $n$ graus de liberdade.

A pegadinha da questão está em confundir a soma dos quadrados com a soma das próprias variáveis. Se o enunciado pedisse $Y = X_1 + X_2 + \dots + X_n$, aí sim teríamos uma distribuição normal (com média 0 e variância $n$), pois a soma de normais independentes é normal. Mas a soma dos quadrados muda completamente a distribuição, transformando-a em qui-quadrado. Essa distinção é clássica e muito cobrada em provas.

A distribuição qui-quadrado tem as seguintes propriedades principais: é assimétrica à direita (para poucos graus de liberdade), assume apenas valores não negativos, sua esperança é igual ao número de graus de liberdade $k$, e sua variância é igual a $2k$. À medida que $k$ cresce, a distribuição se aproxima de uma normal, pelo Teorema Central do Limite.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $Y$ tem distribuição normal com média $n$. Isso seria verdade se $Y$ fosse a soma das variáveis (não dos quadrados), pois a soma de normais independentes é normal com média igual à soma das médias (0) e variância igual à soma das variâncias ($n$). Mas aqui temos a soma dos quadrados, que não é normal. A média de $Y$ até é $n$ (pois $E[X_i^2] = 1$ para normal padrão), mas a distribuição não é normal — é qui-quadrado. A banca troca a distribuição correta pela normal, explorando a confusão entre soma e soma de quadrados.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a definição da distribuição qui-quadrado: a soma dos quadrados de $n$ variáveis normais padrão independentes segue $\chi^2$ com $n$ graus de liberdade. Cada $X_i^2$ é uma qui-quadrado com 1 grau de liberdade, e a soma de qui-quadrados independentes é também qui-quadrado, com graus de liberdade somados. Portanto, $Y \sim \chi^2_n$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A distribuição t de Student surge da razão entre uma normal padrão e a raiz quadrada de uma qui-quadrado dividida pelos seus graus de liberdade, ou seja, $t = \frac{Z}{\sqrt{\chi^2_k / k}}$, com $Z$ independente de $\chi^2_k$. Não é a soma de quadrados de normais. Além disso, os graus de liberdade da t seriam $n-1$ apenas em contextos de estimação da variância amostral, o que não é o caso aqui. A banca tenta confundir com a t de Student, que é usada quando o desvio padrão populacional é desconhecido.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A distribuição F de Snedecor é definida como a razão de duas qui-quadrado independentes, cada uma dividida pelos seus respectivos graus de liberdade: $F = \frac{\chi^2_{k_1}/k_1}{\chi^2_{k_2}/k_2}$. Não é a soma de quadrados de normais. A banca tenta confundir com a F, que é usada na comparação de variâncias e na ANOVA.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta, que modela o número de ocorrências de um evento em um intervalo de tempo ou espaço. Não tem relação com a soma de quadrados de variáveis contínuas. A banca inclui essa alternativa apenas como distrator, pois é uma distribuição conhecida, mas totalmente inadequada ao contexto.

Gabarito: letra B