Questão de Estatística — Inferência estatística — VUNESP 2023

Intervalo de confiança para proporção: margem de erro

Gabarito: letra D. A margem de erro (metade da amplitude do intervalo de confiança) para uma proporção é dada por $e = z \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$. Com $\hat{p} = 0{,}50$, $n = 144$ e $z = 1{,}96$ (para 95% de confiança), temos $e = 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{144}} = 1{,}96 \cdot \frac{0{,}5}{12} = 1{,}96 \cdot 0{,}04167 \approx 0{,}0817$, ou seja, aproximadamente 8%.

A questão cobra o intervalo de confiança para proporção populacional, um dos temas centrais de inferência estatística. Quando queremos estimar uma proporção $p$ a partir de uma amostra, o intervalo de confiança tem a forma:

em que $\hat{p}$ é a proporção amostral, $n$ é o tamanho da amostra e $z$ é o quantil da distribuição normal padrão associado ao nível de confiança desejado. Para 95% de confiança, o enunciado informa que $P(z < 1{,}96) = 97{,}5\%$, o que significa que o valor crítico é $z = 1{,}96$ (pois a área entre $-1{,}96$ e $1{,}96$ é 95%).

A margem de erro é exatamente o termo que soma e subtrai da estimativa pontual, ou seja, a metade da amplitude do intervalo:

No problema, temos $\hat{p} = 0{,}50$ (50% favoráveis), $n = 144$ e $z = 1{,}96$. Substituindo:

Convertendo para pontos percentuais: $0{,}0817 \times 100 \approx 8{,}17\%$, que arredondamos para 8%.

Alternativa A — ❌ Incorreta

1% seria o resultado se a margem de erro fosse calculada como $z \cdot \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$ com $z = 0{,}25$ (valor que não corresponde a 95% de confiança) ou se houvesse um erro grosseiro de arredondamento. Não há nenhuma base estatística para esse valor: com $n = 144$ e $\hat{p} = 0{,}5$, o erro padrão é $\sqrt{0{,}25/144} \approx 0{,}0417$, e multiplicado por $1{,}96$ dá cerca de $0{,}0817$ (8,17%). Para obter 1%, precisaríamos de $z \approx 0{,}24$, que não é o quantil de 95%.

Alternativa B — ❌ Incorreta

2% seria o resultado se usássemos $z = 0{,}5$ (novamente, não é o quantil correto) ou se confundíssemos a margem com o erro padrão dividido por 2 (que seria $0{,}0417/2 \approx 2\%$). Mas a margem de erro é $z \cdot \text{erro padrão}$, não a metade do erro padrão. O erro padrão aqui é $\sqrt{0{,}25/144} \approx 0{,}0417$ (4,17%), e a margem é $1{,}96 \times 0{,}0417 \approx 0{,}0817$ (8,17%).

Alternativa C — ❌ Incorreta

5% seria o resultado se usássemos $z = 1{,}2$ (que não corresponde a 95% de confiança) ou se aproximássemos $\sqrt{0{,}25/144}$ por $0{,}025$ (erro de cálculo). O valor correto é $1{,}96 \times 0{,}0417 \approx 0{,}0817$, que está bem acima de 5%. Note que 5% seria a margem se $n$ fosse cerca de 384 (pois $1{,}96 \times \sqrt{0{,}25/384} \approx 0{,}05$), mas aqui $n = 144$.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

8% é exatamente o valor aproximado da margem de erro. Como calculado: $e = 1{,}96 \cdot \sqrt{0{,}5 \cdot 0{,}5 / 144} = 1{,}96 \cdot 0{,}04167 \approx 0{,}0817$, que em pontos percentuais é $8{,}17\%$, arredondando para 8%. A alternativa espelha o resultado da fórmula padrão para intervalo de confiança de proporção com 95% de confiança.

Alternativa E — ❌ Incorreta

10% seria o resultado se usássemos $z = 2{,}4$ (que corresponde a um nível de confiança de aproximadamente 98,4%, não 95%) ou se cometêssemos um erro de cálculo como $1{,}96 \times 0{,}05 = 0{,}098$. O valor correto é $0{,}0817$, que está mais próximo de 8% do que de 10%. Para obter 10%, precisaríamos de $z \approx 2{,}4$, que não é o quantil de 95%.

Gabarito: letra D