Questão de Estatística — Regressão Linear — VUNESP 2023

Regressão linear: propriedade dos resíduos

Gabarito: letra E. Quando se regride os resíduos $R$ de uma regressão de $Y$ sobre $X$ (obtidos por mínimos quadrados ordinários) contra a própria variável $X$, o coeficiente angular dessa nova regressão é zero. Isso decorre de uma propriedade fundamental do método de mínimos quadrados: os resíduos são ortogonais à variável regressora, ou seja, a covariância entre $X$ e os resíduos é nula, o que faz com que a reta de regressão de $R$ sobre $X$ seja horizontal.

A questão explora uma propriedade central da regressão linear por mínimos quadrados ordinários (MQO). No modelo $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i$, os resíduos são definidos como $R_i = Y_i - \hat{Y}_i$, em que $\hat{Y}_i = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X_i$ é o valor ajustado. O método MQO escolhe $\hat{\beta}_0$ e $\hat{\beta}_1$ de modo a minimizar a soma dos quadrados dos resíduos, $\sum R_i^2$. Essa minimização impõe condições de primeira ordem (as chamadas equações normais) que garantem:

1. A soma dos resíduos é zero: $\sum R_i = 0$ (quando há intercepto no modelo).

2. A soma dos resíduos ponderada por $X$ é zero: $\sum X_i R_i = 0$.

A segunda condição implica que a covariância amostral entre $X$ e $R$ é nula: $\text{Cov}(X, R) = \frac{1}{n}\sum (X_i - \bar{X})(R_i - \bar{R}) = \frac{1}{n}\sum X_i R_i - \bar{X}\bar{R} = 0 - 0 = 0$ (pois $\bar{R}=0$). Como o coeficiente angular da regressão de $R$ sobre $X$ é dado por $\hat{\gamma}_1 = \frac{\text{Cov}(X, R)}{\text{Var}(X)}$, e a covariância é zero, o coeficiente angular é exatamente zero.

Essa é uma propriedade algébrica do MQO, independente da distribuição dos erros ou da forma funcional verdadeira. Ela vale sempre que o modelo inclui um intercepto e a regressão é estimada por mínimos quadrados ordinários. A banca explora justamente a confusão entre a relação entre $X$ e $Y$ (que pode ser positiva ou negativa) e a relação entre $X$ e os resíduos (que é sempre nula).

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o coeficiente angular seria positivo. Isso só ocorreria se houvesse uma relação linear positiva entre $X$ e os resíduos, o que contradiz a condição de ortogonalidade do MQO. A covariância entre $X$ e $R$ é zero, não positiva.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o coeficiente angular seria negativo. Pela mesma razão da alternativa A, a covariância entre $X$ e $R$ é zero, não negativa. Não há relação linear sistemática entre a variável regressora e os resíduos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o coeficiente angular teria o mesmo sinal que o coeficiente angular da primeira regressão. Isso confunde a relação entre $X$ e $Y$ (capturada por $\hat{\beta}_1$) com a relação entre $X$ e os resíduos. Como os resíduos são ortogonais a $X$, o coeficiente angular da regressão de $R$ sobre $X$ é zero, independentemente do sinal de $\hat{\beta}_1$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o coeficiente angular teria o mesmo sinal que o coeficiente de correlação entre $X$ e $Y$. O coeficiente de correlação entre $X$ e $Y$ pode ser positivo ou negativo, mas isso não influencia a relação entre $X$ e os resíduos, que é sempre nula. A correlação entre $X$ e $R$ é zero, não tem sinal.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O coeficiente angular da regressão de $R$ sobre $X$ é zero. Isso decorre da propriedade de ortogonalidade dos resíduos do MQO: $\sum X_i R_i = 0$, o que implica covariância nula entre $X$ e $R$. Portanto, a reta de regressão de $R$ sobre $X$ é horizontal, com inclinação zero.

Gabarito: letra E