Questão de Matemática — Matrizes — VUNESP 2023

Matriz idempotente: a matriz de projeção

Gabarito: letra A. A matriz $A = X(X'X)^{-1}X'$ é idempotente, pois $A^2 = A$. Essa é a propriedade que define a matriz de projeção ortogonal sobre o espaço coluna de $X$, e é exatamente o que a alternativa A afirma.

O que é uma matriz idempotente?

Uma matriz quadrada $A$ é dita idempotente quando $A^2 = A$. Isso significa que, ao aplicar a transformação linear representada por $A$ duas vezes, o resultado é o mesmo de aplicar uma única vez. Geometricamente, $A$ age como uma projeção: ela projeta vetores sobre um subespaço e, uma vez projetado, o vetor já está no subespaço, então projetar de novo não muda nada.

A matriz dada, $A = X(X'X)^{-1}X'$, é a famosa matriz de projeção (ou matriz "chapéu", $\hat{H}$) usada em regressão linear e em mínimos quadrados. Ela projeta qualquer vetor sobre o espaço das colunas de $X$. Vamos verificar a idempotência:

No passo central, usamos que $(X'X)^{-1}(X'X) = I$ (a matriz identidade). Portanto, $A^2 = A$, confirmando que $A$ é idempotente.

Por que as outras alternativas estão erradas?

• B) Ortogonal: uma matriz ortogonal $Q$ satisfaz $Q'Q = I$, ou seja, $Q' = Q^{-1}$. A matriz $A$ não é ortogonal em geral; ela é simétrica ($A' = A$) e idempotente, mas não satisfaz $A'A = I$ (a menos que $X$ seja quadrada e invertível, caso em que $A = I$, mas isso é um caso particular).

• C) Não singular: uma matriz é não singular (invertível) se seu determinante é diferente de zero. A matriz $A$ é uma projeção, e projeções não triviais têm determinante zero (pois possuem autovalores 0 e 1). Logo, $A$ é singular (não invertível), exceto no caso trivial em que $A = I$.

• D) Diagonal: uma matriz diagonal tem elementos não nulos apenas na diagonal principal. $A$ não é diagonal em geral; ela é uma matriz densa, com elementos em todas as posições.

• E) Nilpotente: uma matriz nilpotente satisfaz $A^k = 0$ para algum inteiro positivo $k$. Como $A^2 = A \neq 0$ (a menos que $X = 0$), $A$ não é nilpotente.

Resumo das propriedades

Gabarito: letra A