Questão de Raciocínio Lógico — Problemas Lógicos — VUNESP 2023

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 44 motofretistas (alternativa C).

A ideia por trás

Este problema envolve um sistema de equações lineares, que é um conjunto de equações que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo. Aqui, as incógnitas são as quantidades de motofretistas de cada equipe, e cada dia fornece uma equação que relaciona essas quantidades com o total de entregas. A solução do sistema é o par de números que torna ambas as equações verdadeiras. Para resolver, podemos isolar uma incógnita em uma equação e substituir na outra, ou usar o método da adição. No final, somamos os valores encontrados para obter o total pedido.

O que a questão dá

• 1º dia: 22 entregas por motofretista da manhã, 15 por motofretista da tarde, total 884

• 2º dia: 27 entregas por motofretista da manhã, 12 por motofretista da tarde, total 1008

O que queremos: o número total de motofretistas da empresa (manhã + tarde)

Passo 1 — Montar as equações do sistema

Precisamos traduzir as informações do enunciado para a linguagem matemática. Cada dia gera uma equação: o total de entregas é a soma das entregas de cada equipe. Assim, definimos m como o número de motofretistas da manhã e t como o da tarde.

Por que esta fórmula: A equação do primeiro dia é 22m + 15t = 884, pois cada motofretista da manhã faz 22 entregas, então 22 vezes o número deles, mais 15 vezes o número da tarde, resulta no total. Analogamente, a segunda equação é 27m + 12t = 1008.

De onde vem cada valor: $22$ = enunciado: cada motofretista da manhã fez 22 entregas no 1º dia · $15$ = enunciado: cada motofretista da tarde fez 15 entregas no 1º dia · $884$ = enunciado: total de entregas no 1º dia · $27$ = enunciado: cada motofretista da manhã fez 27 entregas no 2º dia · $12$ = enunciado: cada motofretista da tarde fez 12 entregas no 2º dia · $1008$ = enunciado: total de entregas no 2º dia

Passo 2 — Isolar uma incógnita na primeira equação

Para resolver o sistema, precisamos expressar uma incógnita em função da outra. Isolando t na primeira equação, podemos substituí-la na segunda, transformando o problema em uma equação com apenas uma variável.

Por que esta fórmula: Da equação 22m + 15t = 884, subtraímos 22m dos dois lados e depois dividimos por 15, obtendo t = (884 - 22m)/15.

De onde vem cada valor: $884$ = passo 1 · $22$ = passo 1 · $15$ = passo 1

Passo 3 — Substituir na segunda equação

Agora que temos t em função de m, substituímos essa expressão na segunda equação. Isso elimina a variável t e nos deixa com uma equação só com m, que podemos resolver.

Por que esta fórmula: Na equação 27m + 12t = 1008, trocamos t por (884 - 22m)/15, ficando 27m + 12*(884 - 22m)/15 = 1008.

De onde vem cada valor: $27$ = passo 1 · $12$ = passo 1 · $884$ = passo 2 · $22$ = passo 2 · $15$ = passo 2 · $1008$ = passo 1

Passo 4 — Eliminar o denominador multiplicando por 15

A equação tem uma fração, o que dificulta a resolução. Multiplicando todos os termos por 15, eliminamos o denominador e obtemos uma equação linear simples.

Por que esta fórmula: Multiplicamos cada termo da equação por 15: 1527m + 1512(884-22m)/15 = 151008. O 15 cancela com o denominador, resultando em 405m + 12*(884-22m) = 15120.

De onde vem cada valor: $405$ = 15 × 27 (passo 3) · $12$ = passo 3 · $884$ = passo 2 · $22$ = passo 2 · $15120$ = 15 × 1008 (passo 3)

Passo 5 — Simplificar e resolver para m

Agora temos uma equação sem frações. Aplicamos a distributiva, combinamos os termos com m e isolamos m para encontrar seu valor.

Por que esta fórmula: Distribuímos o 12: 12884 - 1222m = 10608 - 264m. Então a equação fica 405m + 10608 - 264m = 15120. Combinando os termos de m: 141m + 10608 = 15120. Subtraindo 10608 dos dois lados: 141m = 4512. Dividindo por 141: m = 32.

De onde vem cada valor: $141$ = 405 - 264 (passo 4) · $4512$ = 15120 - 10608 (passo 4)

Passo 6 — Calcular t substituindo m

Com o valor de m encontrado, voltamos a uma das equações originais para achar t. Usamos a primeira equação, que é mais simples.

Por que esta fórmula: Substituímos m = 32 na equação 22m + 15t = 884: 2232 + 15t = 884. Calculamos 2232 = 704, então 704 + 15t = 884. Subtraindo 704: 15t = 180. Dividindo por 15: t = 12.

De onde vem cada valor: $22$ = passo 1 · $32$ = passo 5 · $884$ = passo 1

Passo 7 — Somar os valores de m e t

A pergunta pede o número total de motofretistas, que é a soma das duas equipes. Com m = 32 e t = 12, basta somar.

Por que esta fórmula: Total = m + t = 32 + 12 = 44.

De onde vem cada valor: $32$ = passo 5 · $12$ = passo 6

Resposta: 44 motofretistas (alternativa C)