Questão de Estatística — Regressão Linear — VUNESP 2023

Regressão linear com variáveis dummy: o problema da colinearidade perfeita

Gabarito: letra E. O modelo $Y = \beta_1 D_1 + \beta_2 D_2 + \varepsilon$ pode ser estimado por mínimos quadrados ordinários (MQO), pois, embora $D_1$ e $D_2$ sejam perfeitamente colineares (somam 1), o modelo não inclui o intercepto $\beta_0$, o que elimina a colinearidade perfeita com o termo constante e torna a matriz $X'X$ invertível. As demais alternativas ou omitem variável relevante ou sofrem de colinearidade perfeita.

O cerne da questão é o tratamento de variáveis dummy em modelos de regressão linear. Uma variável dummy é uma variável binária (0 ou 1) que indica a presença ou ausência de uma característica. Aqui, $D_1$ indica o primeiro semestre e $D_2$ indica o segundo semestre. Como todo mês pertence a exatamente um dos dois semestres, temos que $D_1 + D_2 = 1$ para todas as observações. Essa relação é chamada de colinearidade perfeita (ou multicolinearidade perfeita).

O problema da colinearidade perfeita é que ela torna a matriz $X'X$ singular (não invertível), impossibilitando o cálculo dos estimadores de MQO, que dependem de $(X'X)^{-1}$. Quando isso ocorre, o modelo não pode ser estimado diretamente. A solução clássica é omitir uma das dummies (ou o intercepto), quebrando a colinearidade perfeita.

A alternativa E apresenta o modelo sem intercepto, incluindo ambas as dummies. Nesse caso, a colinearidade perfeita é quebrada, pois não há mais o termo constante que, combinado com $D_1 + D_2 = 1$, geraria a singularidade. Portanto, o modelo pode ser estimado por MQO. Os coeficientes $\beta_1$ e $\beta_2$ representam, respectivamente, a receita média esperada no primeiro e no segundo semestre.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O modelo $Y = \beta_2 D_2 + \varepsilon$ omite o intercepto e a dummy $D_1$, o que constitui omissão de variável relevante. Como a receita média do primeiro semestre não é capturada por nenhum termo, o estimador de $\beta_2$ será viesado (a menos que a receita média do primeiro semestre seja zero, o que não é garantido). A afirmação de que os estimadores são não viesados "para quaisquer valores de Y e D2" é falsa.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O modelo $Y = \beta_0 + \beta_2 D_2 + \varepsilon$ omite a dummy $D_1$, que é uma variável relevante para explicar a receita mensal. A omissão de $D_1$ faz com que o intercepto $\beta_0$ capture a receita média do primeiro semestre, mas o modelo não permite distinguir os dois semestres. Isso gera viés de omissão de variável relevante, tornando a afirmação incorreta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O modelo $Y = \beta_0 + \beta_1 D_1 + \varepsilon$ omite a dummy $D_2$, que também é relevante. Assim como na alternativa B, a omissão de $D_2$ faz com que o intercepto capture a receita média do segundo semestre, mas o modelo não diferencia os semestres. Isso gera viés de omissão de variável relevante, tornando a afirmação incorreta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O modelo $Y = \beta_0 + \beta_1 D_1 + \beta_2 D_2 + \varepsilon$ sofre de colinearidade perfeita, pois $D_1 + D_2 = 1$. A inclusão do intercepto $\beta_0$ juntamente com as duas dummies torna a matriz $X'X$ singular, impossibilitando a estimação por MQO. Esse é o clássico erro de incluir todas as categorias de uma variável dummy junto com o intercepto.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O modelo $Y = \beta_1 D_1 + \beta_2 D_2 + \varepsilon$ não inclui o intercepto, o que quebra a colinearidade perfeita. Como $D_1 + D_2 = 1$, a matriz $X'X$ é invertível, e os coeficientes podem ser estimados por MQO. Os coeficientes $\beta_1$ e $\beta_2$ representam, respectivamente, a receita média esperada no primeiro e no segundo semestre. Essa é a especificação correta para evitar o problema da armadilha da variável dummy.

Gabarito: letra E