Questão de Estatística — Regressão Linear — VUNESP 2023

Regressão log-log: invariância do coeficiente angular à mudança de escala

Gabarito: letra A. No modelo $\ln y = \alpha + \beta \ln x + \varepsilon$, o coeficiente $\beta$ é a elasticidade de $y$ em relação a $x$ — a variação percentual em $y$ para uma variação percentual de 1% em $x$. Como a elasticidade é adimensional, ela não depende da unidade de medida de $x$; por isso, mudar de quilogramas para toneladas (ou qualquer outra escala) não altera o valor de $\beta$.

O modelo em questão é uma regressão duplo-logarítmica (log-log), em que tanto a variável dependente quanto a independente entram em logaritmo natural. Nesse tipo de modelo, o coeficiente angular $\beta$ tem interpretação de elasticidade constante: ele mede a variação percentual esperada em $y$ quando $x$ varia em 1%. Essa propriedade é o que torna o coeficiente invariante a mudanças de unidade de $x$.

Para entender por que, considere a transformação de escala $x^* = c \cdot x$ (no caso, $c = 1/1000$, pois 1 tonelada = 1000 kg). Então:

Substituindo no modelo original:

Ou seja, o novo intercepto é $\alpha' = \alpha - \beta \ln c$, mas o coeficiente angular $\beta$ permanece exatamente o mesmo. A mudança de escala apenas "desloca" o intercepto, sem tocar na inclinação.

A pegadinha da banca está em confundir a transformação logarítmica com a transformação linear. Em um modelo linear simples $y = a + bx$, se você muda a unidade de $x$ (ex.: de kg para toneladas), o coeficiente $b$ é multiplicado pelo fator de conversão (no caso, dividido por 1000). Mas no modelo log-log, o logaritmo "absorve" a constante multiplicativa, transformando-a em um termo aditivo que se incorpora ao intercepto. É essa diferença que a questão explora.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a mudança de unidade de $x$ (kg → toneladas) introduz uma constante multiplicativa $c = 1/1000$ que, ao ser logaritmizada, vira um termo aditivo $\ln c$ no intercepto. O coeficiente $\beta$, que mede a elasticidade, permanece inalterado. Essa é a propriedade fundamental dos modelos log-log: o coeficiente angular é invariante a mudanças de escala da variável independente.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que $\beta$ seria multiplicado por 1000. Isso seria verdadeiro em um modelo linear simples $y = a + bx$ se $x$ fosse medido em toneladas e convertido para kg (multiplicando por 1000), mas no modelo log-log a transformação logarítmica elimina o efeito multiplicativo. O coeficiente não é multiplicado por nada.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que $\beta$ seria dividido por 1000. Novamente, isso valeria para um modelo linear com $x$ em kg convertido para toneladas (dividindo por 1000), mas não para o modelo log-log. A constante multiplicativa vira aditiva no logaritmo, não afetando $\beta$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que $\beta$ seria multiplicado por $\ln 1000$. Essa alternativa confunde a transformação do intercepto com a do coeficiente angular. De fato, o intercepto muda por $\beta \ln c$, mas o coeficiente $\beta$ em si não é multiplicado por $\ln 1000$. A banca tenta induzir o aluno a aplicar a regra do logaritmo de forma incorreta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que $\beta$ seria dividido por $\ln 1000$. Assim como a alternativa D, essa opção mistura o efeito sobre o intercepto com o efeito sobre o coeficiente angular. Não há divisão por $\ln 1000$; o coeficiente permanece intacto.

Gabarito: letra A.