Questão de Estatística — Distribuição qui-quadrado — VUNESP 2023

Regressão linear simples: estimador de mínimos quadrados

Gabarito: letra C. O estimador de mínimos quadrados ordinários para o coeficiente angular $\beta$ em uma regressão linear simples é dado pela razão entre a covariância entre $x$ e $y$ e a variância de $x$: $\hat{\beta} = \frac{\text{cov}(x,y)}{\text{var}(x)}$. Substituindo os valores fornecidos, $\hat{\beta} = \frac{0,2}{4} = 0,05$.

O método dos mínimos quadrados ordinários (MQO) consiste em encontrar os coeficientes que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos, ou seja, a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores ajustados pela reta. Para o modelo $y = \alpha + \beta x + \varepsilon$, a solução de primeira ordem para $\beta$ resulta exatamente na razão entre a covariância amostral (ou populacional, como no caso) e a variância da variável explicativa. Essa fórmula é a base da estimação por MQO e é amplamente cobrada em concursos.

É importante destacar que a variância de $y$ ($\text{var}(y) = 16$) não entra diretamente no cálculo do coeficiente angular. Ela seria utilizada, por exemplo, para calcular o coeficiente de correlação linear ($r = \frac{\text{cov}(x,y)}{\sqrt{\text{var}(x)\text{var}(y)}}$) ou o erro padrão do estimador, mas não o próprio $\hat{\beta}$. A banca explora exatamente essa confusão: o candidato que tenta usar todos os números fornecidos acaba caindo em um dos distratores.

A pegadinha da banca está em oferecer alternativas que resultam de operações incorretas com os três números fornecidos (0,2; 4; 16). Por exemplo, multiplicar a covariância pela variância de $x$ (0,2 × 4 = 0,8) gera a alternativa D; dividir a variância de $y$ pela covariância (16 / 0,2 = 80) não aparece, mas 12,8 = 0,2 × 64, ou 16 × 0,8, que é a alternativa E. O candidato que não domina a fórmula pode ser induzido a essas operações.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0,003125 não corresponde a nenhuma operação direta com os dados fornecidos. Ele poderia ser obtido, por exemplo, dividindo a covariância pelo produto das variâncias (0,2 / (4 × 16) = 0,2 / 64 = 0,003125), mas essa não é a fórmula do estimador de mínimos quadrados. O correto é dividir a covariância apenas pela variância de $x$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 0,025 seria obtido se dividíssemos a covariância pela variância de $y$ (0,2 / 16 = 0,0125) ou se fizéssemos 0,2 / (4 × 2) = 0,025, mas nenhuma dessas operações corresponde à fórmula correta. O denominador deve ser a variância de $x$, não a de $y$ nem qualquer combinação.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando a fórmula do estimador de mínimos quadrados: $\hat{\beta} = \frac{\text{cov}(x,y)}{\text{var}(x)} = \frac{0,2}{4} = 0,05$. Esse é exatamente o valor que a alternativa apresenta. A variância de $y$ não entra no cálculo, o que é o ponto central da questão.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 0,8 é o resultado da multiplicação da covariância pela variância de $x$ (0,2 × 4 = 0,8). Essa operação não tem relação com a estimação por mínimos quadrados; ela seria, na verdade, o numerador de uma fórmula incorreta. O candidato que confunde a operação de divisão com multiplicação cai nessa alternativa.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 12,8 pode ser obtido por 0,2 × 64 (onde 64 = 4 × 16) ou 16 × 0,8, mas não corresponde a nenhuma fórmula de estimação. É um distrator que combina os números de forma arbitrária, sem base estatística.

Gabarito: letra C