Questão de Estatística — Regressão Linear — VUNESP 2023

Coeficiente de determinação (R²) e inclusão de variáveis

Gabarito: letra E. O R² nunca diminui quando se adiciona uma variável explicativa a um modelo de regressão linear — ele permanece igual ou aumenta, pois a soma dos quadrados da regressão (SQReg) não pode diminuir com a inclusão de um regressor adicional. Assim, B (R² do modelo com x e z) será sempre maior ou igual a A (R² do modelo apenas com x), o que torna correta a afirmação de que B nunca será menor do que A.

O coeficiente de determinação (R²) mede a proporção da variabilidade total da variável dependente (Y) que é explicada pelo modelo. Matematicamente, R² = SQReg/SQT, em que SQReg é a soma dos quadrados da regressão e SQT é a soma dos quadrados total (fixa para um dado conjunto de dados). Quando acrescentamos uma nova variável explicativa, o modelo passa a ter mais parâmetros e, pelo método dos mínimos quadrados, a SQReg do modelo ampliado é sempre maior ou igual à do modelo restrito — nunca menor. Isso ocorre porque o modelo com mais variáveis tem maior flexibilidade para se ajustar aos dados, e o ajuste ótimo do modelo restrito é apenas um caso particular do modelo ampliado (quando o coeficiente da variável adicional é zero).

A pegadinha da questão está em confundir o R² simples com o R² ajustado. O R² ajustado penaliza a inclusão de variáveis sem poder explicativo e pode diminuir quando se adiciona uma variável irrelevante — mas o R² simples, que é o que a questão usa (A e B), nunca diminui. A banca explora exatamente essa confusão entre os dois coeficientes.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o valor esperado de B será menor que o de A. Isso é falso: o R² do modelo ampliado é sempre maior ou igual ao do modelo restrito, para qualquer amostra. O valor esperado de B também é maior ou igual a A, pois a desigualdade vale ponto a ponto. A confusão aqui é com o R² ajustado, que pode diminuir — mas a questão fala de R² simples.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que B será sempre menor do que A. É o oposto do que ocorre: B será sempre maior ou igual a A. A inclusão de qualquer variável, mesmo irrelevante, não reduz a SQReg; no pior caso, o coeficiente estimado para z será zero e o R² permanece igual.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Condiciona a diminuição de B à estatística t de γ ser menor que um. Isso mistura dois conceitos: a estatística t mede a significância individual do coeficiente, mas não tem relação direta com a variação do R². Mesmo que t seja pequeno (coeficiente não significativo), o R² do modelo ampliado não diminui — ele permanece igual ou aumenta. A condição correta para o R² ajustado diminuir é que a variável não compense a perda de graus de liberdade, o que não é capturado simplesmente por t < 1.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que A e B serão iguais. Isso só ocorreria se a variável z tivesse coeficiente estimado exatamente zero, o que é um caso particular e não a regra. Em geral, B > A, pois a inclusão de z aumenta a SQReg (mesmo que marginalmente).

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que B nunca será menor do que A. É exatamente a propriedade do R²: ao adicionar uma variável explicativa, a soma dos quadrados da regressão não diminui, logo o R² não diminui. B ≥ A sempre, para qualquer amostra e qualquer variável z, inclusive as irrelevantes. Essa é a diferença crucial em relação ao R² ajustado, que pode diminuir.

Gabarito: letra E