Estatística · VUNESP · 2023 | Questão sqc-vu073570

EstatísticaDistribuição Normal

Código: vu073570
Banca: VUNESP
Órgão: DPE-SP
Ano: 2023
Nível: Superior

Cargo: Agente de Defensoria - Estatístico

Considere uma regressão simples y = α + βx + ε, estimada por mínimos quadrados ordinários e máxima verossimilhança, considerando que os erros têm distribuição normal.Diante dessas informações, é correto afirmar que os estimadores de máxima verossimilhança de α e β

Asão iguais aos de mínimos quadrados, mas o estimador de máxima verossimilhança da variância é viesado.
Bsão iguais aos de mínimos quadrados, mas o estimador de máxima verossimilhança da variância é inconsistente.
Csão menores que os de mínimos quadrados, mas o estimador de máxima verossimilhança da variância é inconsistente.
Dsão maiores que os de mínimos quadrados, e o estimador de máxima verossimilhança da variância é não viesado.
Esão diferentes dos de mínimos quadrados, mas o estimador de máxima verossimilhança da variância é inconsistente.

Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — são iguais aos de mínimos quadrados, mas o estimador de máxima verossimilhança da variância é viesado.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Regressão linear: MQO × Máxima Verossimilhança sob normalidade

Gabarito: letra A. Sob a suposição de erros normalmente distribuídos, os estimadores de máxima verossimilhança (EMV) de α e β coincidem com os de mínimos quadrados ordinários (MQO), mas o EMV da variância σ² é viesado (tendencioso), pois divide a soma de quadrados dos resíduos por n, e não por n−2. Essa é a relação clássica entre os dois métodos no modelo linear normal.

A questão explora um resultado central da teoria de estimação em regressão: quando o erro ε segue distribuição normal, a função de verossimilhança é maximizada exatamente pelos mesmos valores que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos. Isso ocorre porque o logaritmo da verossimilhança, para o modelo y = α + βx + ε com ε ~ N(0, σ²), é proporcional a −(1/2σ²) vezes a soma dos quadrados dos erros — maximizar a verossimilhança equivale a minimizar essa soma. Portanto, os estimadores pontuais de α e β são idênticos nos dois métodos.

A diferença aparece na estimação de σ². O EMV da variância é dado por:

\hat{\sigma}_{MV}^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2}{n}

enquanto o estimador não viesado (usado no MQO para inferência) é:

s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2}{n - 2}

Como o denominador do EMV é n (em vez de n−2), ele subestima a variância em média: E(σ̂²_MV) = (n−2)/n · σ² < σ². Logo, o EMV da variância é viesado, mas ainda é consistente, pois o viés tende a zero quando n cresce.

A pegadinha da banca está em confundir "viesado" com "inconsistente". O EMV da variância é viesado para amostras finitas, porém consistente — à medida que n aumenta, ele converge para o verdadeiro valor de σ². As alternativas que afirmam inconsistência (B, C, E) estão erradas justamente por essa troca de propriedade.

Método	Estimadores de α e β	Estimador de σ²	Propriedade do estimador de σ²
MQO	α̂, β̂ (minimizam SQR)	s² = SQR/(n−2)	Não viesado
Máxima Verossimilhança	α̂, β̂ (iguais aos MQO)	σ̂²_MV = SQR/n	Viesado (E = (n−2)/n·σ²)
Comparação	Iguais	σ̂²_MV < s²	Viesado, mas consistente

Coeficientes α e β

Variância σ²

Diferença

EMV = MQO

EMV viesado (divide por n)

Igualdade

EMV ≠ MQO

EMV não viesado (divide por n−2)

LEVEL · soulevel.com.br

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que os estimadores de máxima verossimilhança de α e β são iguais aos de mínimos quadrados, mas o estimador de máxima verossimilhança da variância é viesado. Isso está exatamente correto: sob normalidade dos erros, os EMV de α e β coincidem com os de MQO, e o EMV de σ² é viesado (divide por n). É a alternativa que descreve com precisão o resultado teórico.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Erra ao afirmar que o EMV da variância é inconsistente. O EMV de σ² é viesado, mas consistente: sua esperança tende a σ² e sua variância tende a zero quando n → ∞. A banca troca a propriedade de viés por inconsistência — um erro conceitual clássico.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Contém dois erros: (1) diz que os EMV de α e β são menores que os de MQO, quando na verdade são iguais; (2) repete o erro de afirmar que o EMV da variância é inconsistente. Nenhuma das duas afirmações é verdadeira.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Erra ao afirmar que os EMV de α e β são maiores que os de MQO (são iguais) e que o EMV da variância é não viesado (é viesado). A alternativa inverte completamente a relação entre os métodos.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Erra ao afirmar que os EMV de α e β são diferentes dos de MQO (são iguais) e que o EMV da variância é inconsistente (é consistente). Acumula dois erros conceituais.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre viesado e inconsistente. O EMV da variância é viesado (divide por n), mas isso não o torna inconsistente — ele continua convergindo para o valor verdadeiro com o aumento da amostra. Fique atento: "viesado" é propriedade de amostras finitas; "consistente" é propriedade assintótica. Aqui, a alternativa correta é a única que acerta o viés sem errar a consistência.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver questões como esta, lembre-se do quadro: sob normalidade, EMV e MQO coincidem para os coeficientes; para a variância, o EMV é viesado (denominador n) e o não viesado usa n−2. Se a alternativa disser "inconsistente" para o EMV da variância, descarte-a — o EMV é sempre consistente sob condições regulares.

Gabarito: letra A

Link permanente: /questoes/vu073570