Questão de Estatística — Medidas de Dispersão (Amplitude, Desvio Médio, Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação) — VUNESP 2023

Poder do teste de hipóteses para a média

Gabarito: letra D. O poder do teste é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é falsa. Neste caso, o pesquisador testa $H_0: \mu \leq 9$ contra $H_1: \mu > 9$, com $ =16$, $ $\sigma$=2$ e $ $\alpha$=5\%$. O poder é calculado sob a média verdadeira $ $\mu$=10$, resultando em aproximadamente 65%.

O poder de um teste é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando a hipótese alternativa é verdadeira. Para calculá-lo, precisamos primeiro determinar a região crítica do teste, ou seja, o valor da média amostral a partir do qual rejeitamos $H_0$. Como o desvio-padrão populacional é conhecido ($\sigma=2$) e a amostra tem tamanho 16, usamos a distribuição normal padrão para a estatística de teste.

A hipótese nula é $H_0: \mu \leq 9$ e a alternativa é $H_1: \mu > 9$ (teste unilateral à direita). Ao nível de significância de 5%, o valor crítico de $z$ é tal que $P(Z > z_{\alpha}) = 0,05$. Pela informação fornecida, $P(-1,6 < Z < 1,6) \cong 0,90$, o que implica $P(Z > 1,6) = 0,05$. Portanto, $z_{\alpha} = 1,6$.

A estatística de teste é $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$. A região crítica é $Z > 1,6$, ou seja, $\frac{\bar{X} - 9}{2/\sqrt{16}} > 1,6$. Resolvendo, temos $\bar{X} > 9 + 1,6 \times \frac{2}{4} = 9 + 0,8 = 9,8$. Assim, rejeitamos $H_0$ se a média amostral for maior que 9,8.

O poder do teste é a probabilidade de rejeitar $H_0$ quando a média verdadeira é $\mu = 10$. Sob $H_1$, a estatística é $Z = \frac{\bar{X} - 10}{2/\sqrt{16}} = \frac{\bar{X} - 10}{0,5}$. A probabilidade de rejeitar $H_0$ é $P(\bar{X} > 9,8)$ quando $\mu = 10$. Padronizando: $P\left(\frac{\bar{X} - 10}{0,5} > \frac{9,8 - 10}{0,5}\right) = P(Z > -0,4)$.

Pela informação fornecida, $P(-0,4 < Z < 0,4) \cong 0,30$. Como a distribuição normal é simétrica, $P(Z < -0,4) = P(Z > 0,4) = \frac{1 - 0,30}{2} = 0,35$. Portanto, $P(Z > -0,4) = 1 - P(Z < -0,4) = 1 - 0,35 = 0,65 = 65\%$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor de 35% corresponde à probabilidade de $Z < -0,4$, que é a cauda esquerda da distribuição sob a média verdadeira. A banca inverteu o raciocínio: em vez de calcular a probabilidade de rejeitar $H_0$ (que é a cauda direita, $P(Z > -0,4) = 65\%$), usou a cauda esquerda.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor de 45% não corresponde a nenhuma probabilidade diretamente calculável com os dados fornecidos. Não há base para esse número, pois as probabilidades dadas são 95%, 90% e 30% para os intervalos de $z$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor de 60% não é o resultado do cálculo. O poder é $P(Z > -0,4) = 65\%$, e não 60%. A banca pode ter tentado aproximar o valor, mas o cálculo exato com as informações fornecidas resulta em 65%.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O poder do teste é a probabilidade de rejeitar $H_0$ quando $\mu = 10$. Calculamos a região crítica ($\bar{X} > 9,8$) e, sob a média verdadeira, a probabilidade é $P(Z > -0,4) = 65\%$. Este é o valor correto.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor de 85% não corresponde ao cálculo. A probabilidade de $Z > -0,4$ é 65%, e não 85%. A banca pode ter confundido com a probabilidade de $Z > -1,6$ (que seria 95%), mas o valor correto é 65%.

Gabarito: letra D.