Questão de Estatística — Principais distribuições de probabilidade — VUNESP 2023

Teste de hipóteses para a variância: aproximação pela normal

Gabarito: letra E. O valor crítico do teste qui-quadrado, a 5% de significância, para uma amostra de 801 elementos, é aproximadamente 864. Isso porque, para graus de liberdade elevados (n − 1 = 800), a distribuição qui-quadrado pode ser aproximada pela distribuição normal, e o quantil correspondente ao nível de significância de 5% (teste monocaudal à direita) é obtido pela expressão $\chi^2_{0,05;800} \approx \frac{1}{2}(z_{0,05} + \sqrt{2\nu - 1})^2$, com $z_{0,05} \approx 1,64$ (pois $P(-1,6 < z < 1,6) \approx 0,90$ implica $P(z > 1,6) \approx 0,05$). Substituindo, obtém-se aproximadamente 864.

A questão explora um resultado clássico da estatística: quando o número de graus de liberdade é grande, a distribuição qui-quadrado ($\chi^2$) se aproxima de uma distribuição normal. Isso permite usar a tabela normal para encontrar o valor crítico, mesmo sem dispor da tabela qui-quadrado. A aproximação mais comum é a transformação de Fisher: se $X \sim \chi^2_{\nu}$, então $\sqrt{2X}$ é aproximadamente normal com média $\sqrt{2\nu - 1}$ e desvio padrão 1. Assim, o quantil $\chi^2_{\alpha;\nu}$ pode ser aproximado por $\frac{1}{2}(z_\alpha + \sqrt{2\nu - 1})^2$, onde $z_\alpha$ é o quantil da normal padrão que deixa probabilidade $\alpha$ à direita.

No caso, $\nu = n - 1 = 800$ e $\alpha = 0,05$ (teste monocaudal à direita). O enunciado fornece $P(-1,6 < z < 1,6) \approx 0,90$, o que implica $P(z > 1,6) \approx 0,05$. Portanto, $z_{0,05} \approx 1,6$ (na verdade, o valor exato é 1,645, mas a aproximação fornecida é 1,6). Substituindo:

A alternativa E é a única que se aproxima desse valor. As demais alternativas (64, 144, 368, 800) são distratores que não correspondem ao cálculo correto.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 64 é muito baixo. Ele poderia ser obtido se o aluno usasse $n$ em vez de $n-1$ e aplicasse uma aproximação grosseira, mas não corresponde ao quantil qui-quadrado para 800 graus de liberdade a 5%. O valor crítico real é da ordem de 864, não 64.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 144 também é muito baixo. Poderia ser uma confusão com o valor de $z^2$ (1,6² = 2,56) multiplicado por algo, mas não tem relação com o quantil qui-quadrado para 800 graus de liberdade. O cálculo correto leva a aproximadamente 864.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 368 é um distrator. Talvez o aluno tenha usado $\nu = 800$ e feito $800 \times 0,46$ (algo sem fundamento), ou tenha usado a média da qui-quadrado ($\nu = 800$) e subtraído algo, mas não corresponde ao quantil de 5%. O valor correto é 864.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 800 é a média da distribuição qui-quadrado com 800 graus de liberdade (pois $E[\chi^2_\nu] = \nu$). O aluno pode ter confundido o valor crítico com a média, mas o quantil de 5% (monocaudal à direita) é maior que a média, pois a distribuição é assimétrica à direita. O valor correto é 864.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, o valor crítico aproximado é 864. A transformação de Fisher fornece $\chi^2_{0,05;800} \approx 864$, que é a alternativa correta.

Gabarito: letra E.