Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — VUNESP 2023

Teste de hipóteses para a média: bicaudal e decisão

Gabarito: letra A. O teste é bicaudal porque a hipótese nula afirma que a média é igual a 100 (H0: μ = 100) e a alternativa é simplesmente que a média é diferente de 100 (H1: μ ≠ 100), sem direção definida. A estatística de teste calculada é z = -1,8, cujo valor absoluto (1,8) é menor que o valor crítico bicaudal de 1,96 para 5% de significância, portanto a hipótese nula não deve ser rejeitada.

O teste de hipóteses é um procedimento para decidir, com base em uma amostra, se uma afirmação sobre um parâmetro populacional (aqui, a média μ) deve ser aceita ou rejeitada. A hipótese nula (H0) é a afirmação que se quer testar — no caso, μ = 100. A hipótese alternativa (H1) é a negação lógica da nula. Quando a alternativa é do tipo "diferente de" (≠), o teste é bicaudal, pois a região de rejeição se divide nas duas caudas da distribuição. Quando a alternativa é do tipo ">" ou "<", o teste é monocaudal (unilateral), com toda a região de rejeição em uma única cauda.

A estatística de teste para a média, quando o desvio-padrão populacional é conhecido (ou, como aqui, quando a amostra é grande o suficiente para usar o desvio-padrão amostral como aproximação), é dada por:

Substituindo os valores do enunciado: média amostral $\bar{x} = 96,4$, média sob H0 $\mu_0 = 100$, desvio-padrão $\sigma = 20$ e tamanho amostral $n = 100$:

Para um teste bicaudal a 5% de significância, os valores críticos são z = -1,96 e z = +1,96, pois a área entre -1,96 e 1,96 é 0,95 (dado no enunciado: p(-2 < z < 2) ≈ 0,95, e 1,96 é o valor exato para 95%). A regra de decisão é: rejeitar H0 se |z| > 1,96. Como |z| = 1,8 < 1,96, não rejeitamos H0.

A pegadinha da banca está em dois pontos: primeiro, identificar corretamente que o teste é bicaudal (a alternativa "diferente de" é o gatilho); segundo, comparar o valor absoluto da estatística com o valor crítico correto. Muitos candidatos usam o valor crítico monocaudal (1,64) ou confundem a direção da decisão, rejeitando quando deveriam aceitar. Aqui, o valor calculado (1,8) está entre 1,64 e 1,96, o que reforça a necessidade de usar o valor bicaudal.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O teste é bicaudal (H1: μ ≠ 100) e a estatística calculada z = -1,8 tem módulo 1,8, que é menor que o valor crítico bicaudal de 1,96. Portanto, a hipótese nula não deve ser rejeitada ao nível de 5% de significância. A alternativa espelha exatamente o procedimento correto.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a hipótese nula deveria ser rejeitada. O erro está na decisão: como |z| = 1,8 < 1,96, a amostra não fornece evidência suficiente para rejeitar H0. O valor observado cai na região de aceitação.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Classifica o teste como monocaudal. O erro está na natureza da hipótese alternativa: como H1 é μ ≠ 100 (diferente), o teste é bicaudal. Um teste monocaudal seria apropriado apenas se a alternativa fosse direcional (μ > 100 ou μ < 100).

Alternativa D — ❌ Incorreta

Acumula dois erros: classifica o teste como monocaudal (quando é bicaudal) e afirma que a hipótese nula deveria ser rejeitada (quando não deve, pois |z| < 1,96).

Alternativa E — ❌ Incorreta

Diz que o teste pode ser bicaudal ou monocaudal e que a hipótese nula deveria ser rejeitada. O teste é inequivocamente bicaudal, e a decisão correta é não rejeitar H0. A alternativa mistura as duas possibilidades de forma incorreta.

Gabarito: letra A