Estatística · VUNESP · 2023 | Questão sqc-vu073575

Estimador não viesado da variância populacional

Gabarito: letra B. Para uma amostra de uma população normal, o estimador não viesado da variância populacional é a variância amostral corrigida, que divide a soma dos quadrados dos desvios pela média por $n-1$ (graus de liberdade). Calculando: média = 4, soma dos quadrados dos desvios = 30, e $s^2 = 30/(4-1) = 10$ .

A questão cobra um conceito central de inferência estatística: a distinção entre o estimador viesado e o não viesado da variância populacional. Quando temos uma amostra e queremos estimar a variância da população, usar o divisor $n$ (que seria a variância amostral "descritiva") produz um estimador que, em média, subestima o verdadeiro valor populacional — ou seja, é viesado. Para corrigir isso, utiliza-se o divisor $n-1$ , que ajusta a estimativa para que seu valor esperado seja exatamente o parâmetro populacional. Esse é o motivo pelo qual a variância amostral $s^2$ é definida com o denominador $n-1$ .

A informação de que a população segue distribuição normal é relevante para garantir que a média amostral e a variância amostral tenham propriedades desejáveis, mas o cálculo do estimador não viesado da variância não depende diretamente dessa suposição — a fórmula com $n-1$ é válida para qualquer população com variância finita. A pegadinha da banca está justamente em oferecer como distratores os valores que seriam obtidos se o candidato usasse o divisor $n$ (que daria 7,5) ou se confundisse os conceitos de variância e desvio padrão.

Cálculo	Fórmula	Resultado
Média amostral	$(\bar{x} = \frac{1+2+5+8}{4})$	4
Soma dos quadrados dos desvios	$(\sum (x_i - \bar{x})^2 = (1-4)^2 + (2-4)^2 + (5-4)^2 + (8-4)^2)$	30
Variância amostral viesada (divisor (n))	(30/4)	7,5
Variância amostral não viesada (divisor (n-1))	(30/(4-1))	10

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 7,5 corresponde ao cálculo da variância amostral viesada, ou seja, dividindo a soma dos quadrados dos desvios por $n = 4$ : $30/4 = 7,5$ . Esse é o valor que se obtém ao usar a fórmula da variância populacional aplicada à amostra, mas ele não é um estimador não viesado da variância populacional — ele tende a subestimar o parâmetro. A banca coloca esse valor como distrator justamente para pegar o candidato que esquece de usar o divisor $n-1$ .

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O estimador não viesado da variância populacional é a variância amostral corrigida, calculada por:

s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}

Com os dados da amostra {1, 2, 5, 8}:

Média: $\bar{x} = (1+2+5+8)/4 = 16/4 = 4$
Soma dos quadrados dos desvios: $(1-4)^2 + (2-4)^2 + (5-4)^2 + (8-4)^2 = 9 + 4 + 1 + 16 = 30$
Variância amostral: $s^2 = 30/(4-1) = 30/3 = 10$

Portanto, o valor do estimador não viesado é 10.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 23,5 não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados fornecidos. Ele poderia ser obtido se o candidato calculasse a variância usando o divisor $n-1$ mas com um erro na soma dos quadrados dos desvios, ou se confundisse a fórmula com outro estimador. Não há justificativa estatística para esse valor com base na amostra dada.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 30 é exatamente a soma dos quadrados dos desvios em relação à média ( $\sum (x_i - \bar{x})^2 = 30$ ), mas não é a variância — falta dividir pelo número de graus de liberdade. Esse distrator testa se o candidato entende que a variância é uma medida de dispersão média, não a soma total dos desvios quadrados.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 94 não tem relação com os dados da amostra. Ele poderia surgir de um erro grosseiro de cálculo, como elevar a soma dos quadrados dos desvios ao quadrado (30² = 900) e depois dividir por algo, ou de uma confusão com a fórmula do desvio padrão. Não há fundamento estatístico para esse valor.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão clássica entre os divisores $n$ e $n-1$ . O candidato que calcula a variância dividindo por $n$ obtém 7,5 (alternativa A) e pode marcá-la achando que está correto. A chave é lembrar que, para estimar a variância populacional a partir de uma amostra, o divisor correto é $n-1$ , pois isso torna o estimador não viesado — ou seja, em média, ele acerta o valor real do parâmetro. Esse é um dos pontos mais cobrados em estatística para concursos, e a distinção entre os dois divisores é o que separa o acerto do erro.

PEGA ESSA DICA!

Para não errar, decore a regra: variância amostral (estimador não viesado) usa $n-1$ ; variância populacional (descritiva, quando se tem todos os dados) usa $n$ . Na prova, identifique se a questão pede "estimador não viesado" ou "variância da amostra" — se for o primeiro, use $n-1$ ; se for o segundo, use $n$ . Treine com questões que misturam os dois conceitos para fixar a diferença.

Gabarito: letra B.