Estatística · VUNESP · 2023 | Questão sqc-vu073576

Propriedades dos estimadores: viés e consistência

Gabarito: letra D. O estimador calculado dividindo a soma dos valores por $n+1$ é viesado, pois seu valor esperado não coincide com a média populacional $\mu$ , mas é consistente, pois seu viés e sua variância tendem a zero quando $n$ cresce. A distinção entre viés (esperança do estimador versus parâmetro) e consistência (comportamento limite) é o núcleo da questão.

Um estimador é uma função matemática dos elementos da amostra, usada para estimar um parâmetro populacional. A média amostral $\bar{X} = \frac{\sum X_i}{n}$ é o estimador usual da média populacional $\mu$ . Quando o pesquisador divide por $n+1$ , ele cria um novo estimador $\hat{\mu} = \frac{\sum X_i}{n+1}$ . Para analisar suas propriedades, precisamos calcular sua esperança e sua variância.

Cálculo da esperança (viés):

E(\hat{\mu}) = E\left(\frac{\sum X_i}{n+1}\right) = \frac{1}{n+1} \sum E(X_i) = \frac{n \mu}{n+1}

Como $E(\hat{\mu}) = \frac{n}{n+1} \mu \neq \mu$ , o estimador é viesado. O viés é $E(\hat{\mu}) - \mu = \frac{n}{n+1}\mu - \mu = -\frac{\mu}{n+1}$ , que não é zero para $n$ finito.

Cálculo da consistência:

Um estimador é consistente se converge em probabilidade para o parâmetro quando $n \to \infty$ . Isso ocorre se o viés tende a zero e a variância tende a zero. O viés $\frac{\mu}{n+1} \to 0$ quando $n \to \infty$ . A variância é:

Var(\hat{\mu}) = Var\left(\frac{\sum X_i}{n+1}\right) = \frac{1}{(n+1)^2} \sum Var(X_i) = \frac{n \sigma^2}{(n+1)^2} \to 0

Portanto, o estimador é consistente: à medida que a amostra cresce, ele se aproxima do valor verdadeiro $\mu$ , mesmo sendo viesado para amostras finitas.

A pegadinha da banca é associar "viesado" a "inconsistente", como se fossem sinônimos. Não são: um estimador pode ser viesado e consistente (como aqui), ou não viesado e consistente (como a média amostral usual), ou viesado e inconsistente (como um estimador que nunca converge). A consistência é uma propriedade assintótica, enquanto o viés é uma propriedade para amostras finitas.

Propriedade	Estimador usual (dividir por n)	Estimador do pesquisador (dividir por n+1)	Análise
Esperança	$(E(\bar{X}) = \mu)$	$(E(\hat{\mu}) = \frac{n}{n+1}\mu)$	$(E(\hat{\mu}) \neq \mu) →$ viesado
Viés	0	$(-\frac{\mu}{n+1})$	Tende a 0 quando $n \to \infty$
Variância	$(\frac{\sigma^2}{n})$	$(\frac{n\sigma^2}{(n+1)^2})$	Tende a 0 quando $n \to \infty$
Consistência	Consistente	Consistente (viés e variância → 0)	Consistente
Classificação final	Não viesado e consistente	Viesado e consistente	Gabarito: D

Viesado

Não viesado

Inconsistente

Média / (n+1)

Média amostral usual

Consistente

Estimador fixo

Média / (n+1) com n fixo

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Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o estimador será viesado e inconsistente. O erro está na segunda parte: como demonstrado, o viés tende a zero e a variância tende a zero, logo o estimador é consistente. A banca tenta fazer o aluno acreditar que todo estimador viesado é inconsistente, o que é falso.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o estimador será não viesado e consistente. O erro está na primeira parte: $E(\hat{\mu}) = \frac{n}{n+1}\mu \neq \mu$ , portanto o estimador é viesado. A média amostral usual $\bar{X}$ é que é não viesada, mas aqui o pesquisador dividiu por $n+1$ , não por $n$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o estimador será não viesado e inconsistente. Ambos os termos estão errados: o estimador é viesado (esperança diferente de $\mu$ ) e consistente (viés e variância tendem a zero). É a combinação oposta à correta.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O estimador é viesado porque $E(\hat{\mu}) = \frac{n}{n+1}\mu \neq \mu$ , e é consistente porque $\lim_{n \to \infty} E(\hat{\mu}) = \mu$ e $\lim_{n \to \infty} Var(\hat{\mu}) = 0$ . A consistência não exige não viés para amostras finitas; exige apenas que o estimador convirja para o parâmetro com o aumento da amostra.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que o estimador "dependerá do tamanho da amostra". Isso é vago e não descreve as propriedades estatísticas. Todo estimador depende do tamanho da amostra no sentido de que sua variância diminui com $n$ , mas a questão pede a classificação em viesado/não viesado e consistente/inconsistente, que é fixa para este estimador.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre viés e consistência. Muitos candidatos pensam que "viesado" implica "inconsistente", mas não é verdade. Um estimador viesado pode ser consistente se o viés desaparece assintoticamente. Aqui, o viés é $\frac{\mu}{n+1}$ , que tende a zero, e a variância também tende a zero — logo, consistente. Lembre-se: consistência é sobre o comportamento limite, não sobre a esperança exata.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver questões de propriedades de estimadores, calcule sempre a esperança e a variância do estimador. Se $E(\hat{\theta}) = \theta$ , é não viesado; se $E(\hat{\theta}) \neq \theta$ , é viesado. Para consistência, verifique se o viés e a variância tendem a zero quando $n \to \infty$ . Esse método resolve a maioria das questões de concurso sobre o tema.

Gabarito: letra D