Estatística · VUNESP · 2023 | Questão sqc-vu073577

Estimador de máxima verossimilhança para a distribuição exponencial

Gabarito: letra C. Para uma amostra de uma população exponencial com parâmetro β, o estimador de máxima verossimilhança (EMV) é o inverso da média amostral: $\hat{\beta} = 1/\bar{X}$ . Como a média amostral é $\bar{X} = (1+1+2+2+4)/5 = 2$ , temos $\hat{\beta} = 1/2 = 0{,}5$ .

A distribuição exponencial é uma das distribuições contínuas mais importantes em estatística, frequentemente usada para modelar tempos de vida, tempos de espera e intervalos entre eventos. Sua função densidade de probabilidade é dada por $f(x) = \beta e^{-\beta x}$ para $x \geq 0$ , com parâmetro $\beta > 0$ . A média e a variância dessa distribuição são, respectivamente, $E(X) = 1/\beta$ e $Var(X) = 1/\beta^2$ .

O método da máxima verossimilhança consiste em escolher o valor do parâmetro que torna a amostra observada a mais provável possível. Para uma amostra aleatória simples $X_1, X_2, \dots, X_n$ de uma população exponencial, a função de verossimilhança é o produto das densidades:

L(\beta) = \prod_{i=1}^{n} \beta e^{-\beta X_i} = \beta^n e^{-\beta \sum_{i=1}^{n} X_i}

Aplicando o logaritmo natural (que é uma transformação monótona, preservando o ponto de máximo), obtemos a log-verossimilhança:

\ln L(\beta) = n \ln \beta - \beta \sum_{i=1}^{n} X_i

Derivando em relação a $\beta$ e igualando a zero:

\frac{d}{d\beta} \ln L(\beta) = \frac{n}{\beta} - \sum_{i=1}^{n} X_i = 0 \Rightarrow \hat{\beta} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} X_i} = \frac{1}{\bar{X}}

Portanto, o EMV de $\beta$ é o inverso da média amostral. Esse é um resultado clássico e muito cobrado em concursos.

A pegadinha desta questão está na parametrização: algumas bancas definem a exponencial com parâmetro $\lambda$ (taxa) e outras com parâmetro $\beta$ (escala). Na parametrização com $\lambda$ , o EMV é $\hat{\lambda} = 1/\bar{X}$ ; na parametrização com $\beta$ (como aqui), o EMV é $\hat{\beta} = 1/\bar{X}$ também, mas cuidado: se a questão pedisse o EMV da média (que é $1/\beta$ ), o resultado seria $\bar{X}$ . Aqui, o enunciado pede explicitamente o parâmetro $\beta$ , então o caminho é o inverso da média.

1Calcular média amostral
2Inverter a média
3Obter β̂ = 1/X̄

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Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0,1 não corresponde a nenhuma operação direta com os dados. Ele seria obtido, por exemplo, se o aluno calculasse $1/10$ (talvez confundindo a soma dos dados, que é 10, com a média). Mas o EMV exige o inverso da média amostral, não o inverso da soma.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 0,2 é o inverso da soma dos dados ( $1/10 = 0{,}1$ ? Não, $1/10 = 0{,}1$ ; 0,2 seria $2/10$ ). Na verdade, 0,2 é o inverso de 5, que é o tamanho da amostra ( $n$ ). O aluno pode ter confundido o denominador: usou $n$ em vez de $\sum X_i$ . O correto é $\hat{\beta} = n/\sum X_i = 5/10 = 0{,}5$ .

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, $\hat{\beta} = 1/\bar{X} = 1/2 = 0{,}5$ . A média amostral é $\bar{X} = (1+1+2+2+4)/5 = 10/5 = 2$ , e o inverso é 0,5. Este é exatamente o valor do EMV para o parâmetro da exponencial.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 1 seria o EMV se a média amostral fosse 1, mas aqui a média é 2. Também poderia ser uma confusão com o parâmetro de uma exponencial padrão (média 1), mas não é o caso.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 2 é a própria média amostral ( $\bar{X} = 2$ ). O aluno que marcasse esta alternativa teria calculado a média, mas esquecido de inverter. O EMV do parâmetro $\beta$ é o inverso da média, não a média em si.

PEGA ESSA DICA!

Para a distribuição exponencial, decore o par EMV: $\hat{\beta} = 1/\bar{X}$ (parâmetro de taxa) e $\hat{E(X)} = \bar{X}$ (média). Em provas, a banca frequentemente troca os dois: pede o parâmetro e o candidato entrega a média, ou vice-versa. Sempre verifique o que o enunciado pede: se for o parâmetro, inverta a média; se for a média, use a média amostral.

Gabarito: letra C.