Questão de Estatística — Amostragem — VUNESP 2023

Estimador de mínimos quadrados para a média populacional

Gabarito: letra D. O estimador de mínimos quadrados para a média populacional é a média amostral, que minimiza a soma dos quadrados dos desvios. Para a amostra {2, 3, 4, 6, 7, 8}, a média é (2+3+4+6+7+8)/6 = 30/6 = 5.

O método dos mínimos quadrados é uma técnica de otimização que busca encontrar o valor do parâmetro que minimiza a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e o valor estimado. No caso da média populacional, o estimador de mínimos quadrados é a média amostral, pois ela minimiza a função $S(\mu) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2$. Derivando em relação a $\mu$ e igualando a zero, obtemos $\hat{\mu} = \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$.

A média amostral é um estimador não viesado e consistente para a média populacional, independentemente da distribuição da população. Isso significa que, em média, o valor estimado coincide com o parâmetro verdadeiro, e à medida que o tamanho da amostra aumenta, a estimativa se aproxima do valor real.

A pegadinha desta questão é que o enunciado menciona "mínimos quadrados", o que pode levar o candidato a pensar em regressão linear. No entanto, para a estimação de uma média, o estimador de mínimos quadrados é simplesmente a média aritmética. Não há necessidade de calcular retas ou coeficientes de regressão.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 2 é o menor elemento da amostra, não a média. Não corresponde a nenhuma medida de tendência central relevante para este conjunto.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 3 é o segundo menor elemento da amostra. Também não é a média, nem a mediana (que seria 5).

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 4 é um dos elementos da amostra, mas não é a média. A média é maior, pois a soma dos elementos é 30.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A média amostral é o estimador de mínimos quadrados para a média populacional. Calculando: $\bar{x} = \frac{2+3+4+6+7+8}{6} = \frac{30}{6} = 5$. Portanto, a estimativa pontual é 5.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 6 é um dos elementos da amostra, mas não é a média. A média é 5, que é menor que 6.

Gabarito: letra D