Estatística · VUNESP · 2023 | Questão sqc-vu073579

Tamanho da amostra para estimação de proporção

Gabarito: letra C. Para uma margem de erro de 5 pontos percentuais (E = 0,05) com 95% de confiança (z ≈ 2, conforme dado), o tamanho mínimo da amostra é 400, obtido pela fórmula $n = \dfrac{z^2 \cdot p \cdot (1-p)}{E^2}$ usando o pior caso $p = 0,5$ (máxima variância).

A questão pede o tamanho amostral para estimar uma proporção (intenção de voto, opinião) com uma margem de erro pré-definida. A fórmula clássica para isso é:

n = \dfrac{z^2 \cdot p \cdot (1-p)}{E^2}

onde:

$z$ é o quantil da normal padrão associado ao nível de confiança (aqui, $z \approx 2$ , pois $P(-2 < z < 2) \approx 0,95$ );
$p$ é a proporção estimada (quando não se tem informação, usa-se $p = 0,5$ , que maximiza o produto $p(1-p)$ e, portanto, o tamanho da amostra — é a escolha conservadora);
$E$ é a margem de erro (aqui, 5 pontos percentuais = 0,05).

Substituindo os valores:

n = \dfrac{2^2 \cdot 0,5 \cdot 0,5}{0,05^2} = \dfrac{4 \cdot 0,25}{0,0025} = \dfrac{1}{0,0025} = 400

Portanto, a amostra mínima é 400.

1Fórmula: n = z²·p·(1-p)/E²
2z = 2 (95%)
3p = 0,5 (máx. variância)
4E = 0,05 (5 p.p.)
5n = 4·0,25/0,0025 = 400

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Alternativa A — ❌ Incorreta

100 seria o resultado se a margem de erro fosse 10 pontos percentuais (E = 0,10) com o mesmo z e p = 0,5: $n = \dfrac{4 \cdot 0,25}{0,01} = 100$ . A banca usa esse valor como distrator para quem divide por 0,01 em vez de 0,0025.

Alternativa B — ❌ Incorreta

200 não corresponde a nenhuma combinação direta dos parâmetros dados. É um valor intermediário que pode atrair quem erra o cálculo do quadrado da margem de erro (por exemplo, usar 0,05 em vez de 0,0025 no denominador).

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $n = \dfrac{2^2 \cdot 0,5 \cdot 0,5}{0,05^2} = 400$ . É o valor exato que garante margem de erro de 5 pontos percentuais com 95% de confiança, assumindo a variância máxima da proporção.

Alternativa D — ❌ Incorreta

1.000 seria o resultado se a margem de erro fosse 3,16% (aproximadamente), ou se usasse z = 3,16 com E = 0,05. Não há base nos dados fornecidos para esse número.

Alternativa E — ❌ Incorreta

2.000 seria o resultado se a margem de erro fosse 2,24% (aproximadamente), ou se usasse z = 4,47 com E = 0,05. Também não corresponde a nenhuma combinação direta dos parâmetros.

NÃO CAIA NESSA!

A banca fornece $P(-2 < z < 2) \approx 0,95$ em vez do valor usual $z = 1,96$ . Muitos candidatos usam 1,96 e obtêm $n \approx 384$ , que não está nas alternativas — e então podem arredondar para 400 ou errar. Aqui, o z é 2, e o cálculo exato já dá 400. Fique atento ao valor de z fornecido no enunciado!

PEGA ESSA DICA!

Quando a questão não informa a proporção $p$ , use $p = 0,5$ (máxima variância). Isso garante o maior tamanho amostral possível, sendo a escolha conservadora padrão em pesquisas de opinião. Memorize a fórmula e o caso $z=2$ , $E=0,05$ , $p=0,5$ → $n=400$ .

Gabarito: letra C