Questão de Estatística — Principais distribuições de probabilidade — VUNESP 2023

Distribuição da soma de variáveis aleatórias independentes

Gabarito: letra A. O peso total dos 36 passageiros é a soma de 36 variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, cada uma com média 75 kg e desvio-padrão 15 kg. Pelo Teorema Central do Limite, essa soma tem distribuição aproximadamente normal, com média $36 \times 75 = 2700$ kg e desvio-padrão $\sqrt{36} \times 15 = 90$ kg.

A questão explora a combinação linear de variáveis aleatórias independentes. Quando somamos $n$ variáveis aleatórias independentes, a média da soma é a soma das médias, e a variância da soma é a soma das variâncias (não dos desvios-padrão). Como o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância, o desvio-padrão da soma é $\sqrt{n} \times \sigma$, e não $n \times \sigma$.

O Teorema Central do Limite (TCL) garante que, para $n$ suficientemente grande (na prática, $n \geq 30$), a soma (ou a média) de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas tende a uma distribuição normal, independentemente da distribuição original. Aqui, $n = 36$, então a aproximação normal é válida.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A soma de 36 variáveis independentes com média 75 kg e desvio-padrão 15 kg tem:

• Média: $E[S] = 36 \times 75 = 2700$ kg.

• Variância: $Var(S) = 36 \times 15^2 = 36 \times 225 = 8100$.

• Desvio-padrão: $\sqrt{8100} = 90$ kg.

Pelo TCL, a distribuição é aproximadamente normal. Portanto, a alternativa está correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O erro está no desvio-padrão: a alternativa mantém o desvio-padrão individual (15 kg) em vez de multiplicar por $\sqrt{36} = 6$. O desvio-padrão da soma é $90$ kg, não $15$ kg. O valor $15$ kg seria o desvio-padrão da média amostral ($\sigma/\sqrt{n}$), não da soma.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa apresenta a média de um único passageiro (75 kg) e um desvio-padrão de 0,375 kg, que não corresponde a nenhum parâmetro relevante. O valor 0,375 kg seria o desvio-padrão da média amostral se $n = 1600$ (pois $15/\sqrt{1600} = 0,375$), o que não é o caso. A soma tem média 2700 kg, não 75 kg.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A distribuição t de Student é usada para a média amostral quando a variância populacional é desconhecida e a amostra é pequena ($n < 30$). Aqui, temos a soma de 36 variáveis, com variância conhecida, e o TCL se aplica, resultando em distribuição aproximadamente normal, não t. Além disso, a média da soma é 2700 kg, não 75 kg.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa afirma que a distribuição é desconhecida, o que contraria o TCL, que garante aproximação normal para $n = 36$. Além disso, o desvio-padrão de 600 kg não corresponde a nenhum cálculo correto: seria o resultado de multiplicar 15 kg por 40, o que não tem fundamento. O desvio-padrão correto é 90 kg.

Gabarito: letra A