Questão de Estatística — Amostragem — VUNESP 2023

Lei dos Grandes Números: convergência da média amostral

Gabarito: letra E. O enunciado descreve exatamente a Lei dos Grandes Números (LGN): à medida que o tamanho da amostra ($n$) cresce, a média amostral ($\bar{X}$) converge em probabilidade para a média populacional ($\mu$). É o teorema que formaliza a intuição de que "amostras maiores produzem estimativas mais precisas" — e é isso que a alternativa E espelha.

A Lei dos Grandes Números é um dos pilares da inferência estatística. Ela garante que, para uma amostra aleatória simples de uma população com média $\mu$ e variância finita, a média amostral $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$ converge para $\mu$ quando $n \to \infty$. Existem duas versões principais: a Lei Fraca, que afirma a convergência em probabilidade ($\bar{X} \xrightarrow{p} \mu$), e a Lei Forte, que afirma a convergência quase certa ($\bar{X} \xrightarrow{q.c.} \mu$). Em termos práticos, ambas dizem a mesma coisa: com uma amostra suficientemente grande, a média amostral fica arbitrariamente próxima da média populacional.

A confusão clássica neste tema é com o Teorema Central do Limite (TCL). Enquanto a LGN trata da convergência do valor da média amostral para o parâmetro, o TCL trata da forma da distribuição da média amostral padronizada: ele afirma que, para $n$ grande, a distribuição de $\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ se aproxima da normal padrão, independentemente da distribuição da população. São resultados complementares, mas com objetos distintos — e a banca explora exatamente essa troca.

A pegadinha da questão está em associar a frase "a média amostral converge para a média populacional" ao TCL, que é o teorema mais famoso e mais cobrado. Mas a convergência em si é o objeto da Lei dos Grandes Números. O TCL não diz que a média amostral converge para a populacional; ele diz que a distribuição da média amostral padronizada tende à normal. Perceba a diferença: a LGN responde "para onde vai o valor?", o TCL responde "qual é o formato da distribuição?".

Alternativa A — ❌ Incorreta

O Teorema Central do Limite afirma que a distribuição da média amostral padronizada se aproxima da distribuição normal quando $n$ é grande, independentemente da distribuição da população. Ele não trata da convergência do valor da média amostral para a média populacional — trata da forma da distribuição. A banca coloca o TCL como distrator justamente por ser o teorema mais conhecido, mas o enunciado fala de convergência de valor, não de forma de distribuição.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O Teorema de Tchebichev (ou desigualdade de Tchebycheff) estabelece um limite superior para a probabilidade de uma variável aleatória se afastar de sua média: para qualquer $k > 0$, $P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$. Ele é uma ferramenta usada na demonstração da Lei Fraca dos Grandes Números, mas não é o teorema que enuncia a convergência da média amostral. É um resultado auxiliar, não o resultado principal.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Os Axiomas de probabilidade (de Kolmogorov) são os postulados que fundamentam a teoria das probabilidades: não-negatividade, normalização ($P(\Omega) = 1$) e aditividade enumerável. Eles não têm relação direta com a convergência de estimadores. São a base axiomática, não um teorema sobre amostragem.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O Teorema de Gauss-Markov é um resultado da teoria da estimação em modelos de regressão linear: sob certas condições, o estimador de mínimos quadrados ordinários (MQO) é o melhor estimador linear não viesado (BLUE). Ele trata da eficiência de estimadores em regressão, não da convergência da média amostral. É um teorema de propriedades de estimadores, não de convergência.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A Lei dos Grandes Números é exatamente o teorema que afirma que a média amostral converge para a média populacional à medida que o tamanho da amostra aumenta. É a formalização matemática da ideia de que amostras maiores produzem estimativas mais precisas. A alternativa E é a única que nomeia corretamente o teorema descrito no enunciado.

Gabarito: letra E.