Estatística · VUNESP · 2023 | Questão sqc-vu073582

Transformação de variável aleatória contínua: método do Jacobiano

Gabarito: letra B. Quando definimos $y = (x+2)/3$ , a função densidade de probabilidade de $y$ é obtida pela fórmula de transformação de variáveis: $f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot |g'(x)|^{-1}$ , onde $x = 3y - 2$ e $|dx/dy| = 3$ . Assim, $f_Y(y) = 3 \cdot f_X(3y - 2)$ , que corresponde exatamente à alternativa B.

A questão cobra um dos tópicos mais clássicos de variáveis aleatórias contínuas: como a densidade se transforma quando aplicamos uma função bijetora (aqui, uma transformação linear) à variável original. O ponto central é que não basta substituir $x$ por $3y-2$ na expressão de $f(x)$ — é preciso multiplicar pelo fator de correção $|dx/dy|$ , que garante que a integral da nova densidade continue sendo 1 (a área total sob a curva de probabilidade não pode mudar).

A fórmula geral para $y = g(x)$ , com $g$ estritamente crescente ou decrescente e diferenciável, é:

f_Y(y) = f_X\left(g^{-1}(y)\right) \cdot \left| \frac{d}{dy} g^{-1}(y) \right|

No nosso caso, $g(x) = (x+2)/3$ , logo $g^{-1}(y) = 3y - 2$ e $\frac{d}{dy}(3y-2) = 3$ . Portanto:

f_Y(y) = f_X(3y - 2) \cdot |3| = 3 \cdot f_X(3y - 2)

A pegadinha da banca está em esquecer o fator multiplicativo $3$ e apenas substituir $x$ por $3y-2$ , o que levaria à alternativa A (ou a outras combinações erradas). O fator $3$ é essencial para que a densidade continue normalizada — sem ele, a integral de $f_Y$ não seria 1.

Transformação de variável aleatória — só Densidade original: f(x); só Densidade transformada: 3·f(3y-2); Densidade original∩Densidade transformada: Jacobiano |dx/dy|=3

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $(3y-2)/3$ , que é exatamente $f_X(3y-2)$ sem o fator de correção $3$ . O erro é esquecer o Jacobiano: a substituição direta de $x$ por $3y-2$ na densidade original não preserva a área total. O fator correto é multiplicar por $3$ , não dividir.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta $3(3y-2)$ , que é a forma correta: $f_Y(y) = 3 \cdot f_X(3y-2)$ . O fator $3$ é o módulo da derivada de $x$ em relação a $y$ ( $dx/dy = 3$ ), e $3y-2$ é a expressão de $x$ em função de $y$ . Essa é a aplicação direta da fórmula de transformação.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $(3y+2)/3$ , que troca o sinal dentro do parêntese: deveria ser $3y-2$ , não $3y+2$ . Além disso, divide por 3 em vez de multiplicar. O erro é duplo: sinal errado na inversa e fator de correção invertido.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $((y+2)/3)/3$ , que é uma composição confusa: parece aplicar a transformação duas vezes ou dividir por 3 duas vezes. Não corresponde à inversa correta ( $x = 3y-2$ ) nem ao fator de correção ( $3$ ). É um distrator que mistura as operações de forma aleatória.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $y-2$ , que não tem relação com a transformação: seria o resultado de uma inversa incorreta ( $x = y-2$ ) sem qualquer fator de correção. Não há base teórica para essa expressão.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora exatamente o erro mais comum: substituir $x$ por $3y-2$ na densidade e esquecer de multiplicar pelo Jacobiano $|dx/dy| = 3$ . Quem faz isso cai na alternativa A. Lembre-se: a densidade transformada precisa continuar integrando 1, e o fator $3$ é o que garante isso. Com treino, você enxerga essa armadilha de longe 💪.

PEGA ESSA DICA!

Para transformações lineares $y = ax + b$ , a regra é sempre: $f_Y(y) = \frac{1}{|a|} f_X\left(\frac{y-b}{a}\right)$ . Aqui, $a = 1/3$ , então $1/|a| = 3$ e $(y-b)/a = (y-2)/(1/3) = 3y-2$ . Decore essa forma e aplique direto na prova.

Gabarito: letra B