Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — VUNESP 2023

Probabilidade condicional: Teorema de Bayes

Gabarito: letra C. A probabilidade de um aluno reprovado ser menina é de 1/3, obtida pela razão entre o número de meninas reprovadas e o total de reprovados. Esse é um caso clássico de probabilidade condicional, resolvido pelo Teorema de Bayes, que inverte a condição: sabemos a probabilidade de reprovação dado o sexo e queremos a probabilidade de ser menina dado que reprovou.

Vamos entender o problema. Temos uma classe com 60% de meninas e 40% de meninos. Entre as meninas, 10% reprovaram; entre os meninos, 30% reprovaram. A pergunta é: escolhendo ao acaso um aluno reprovado, qual a chance de ser menina? A pegadinha aqui é não confundir a probabilidade de reprovação entre meninas (10%) com a probabilidade de ser menina entre os reprovados — são coisas diferentes. A primeira é uma proporção dentro do grupo de meninas; a segunda é uma proporção dentro do grupo de reprovados.

Para resolver, o caminho mais simples é atribuir um número total de alunos, por exemplo, 100. Assim, temos 60 meninas e 40 meninos. As meninas reprovadas são 10% de 60 = 6. Os meninos reprovados são 30% de 40 = 12. O total de reprovados é 6 + 12 = 18. A probabilidade pedida é o número de meninas reprovadas dividido pelo total de reprovados: 6/18 = 1/3.

Formalmente, pelo Teorema de Bayes, sendo M o evento "ser menina" e R o evento "reprovar", temos:

Substituindo: $P(R|M) = 0,10$, $P(M) = 0,60$, e $P(R) = P(R|M)P(M) + P(R|H)P(H) = 0,10 \times 0,60 + 0,30 \times 0,40 = 0,06 + 0,12 = 0,18$. Logo, $P(M|R) = \frac{0,10 \times 0,60}{0,18} = \frac{0,06}{0,18} = \frac{1}{3}$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 1/10 corresponde à taxa de reprovação das meninas (10%), não à probabilidade de ser menina entre os reprovados. A banca usa esse número como distrator para quem confunde a probabilidade condicional com a taxa simples.

Alternativa B — ❌ Incorreta

1/2 seria a resposta se o número de reprovados de cada sexo fosse igual, o que não ocorre: há 6 meninas reprovadas e 12 meninos reprovados. A proporção de reprovados não é equilibrada, pois a taxa de reprovação dos meninos é maior e eles, embora em menor número, contribuem com mais reprovados.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, há 6 meninas reprovadas e 12 meninos reprovados, totalizando 18 reprovados. A probabilidade de um reprovado ser menina é 6/18 = 1/3. A alternativa espelha exatamente a razão entre o número de meninas reprovadas e o total de reprovados.

Alternativa D — ❌ Incorreta

2/3 seria a probabilidade de um reprovado ser menino (12/18 = 2/3), não menina. A banca inverte o evento: quem calcula a chance de ser menino chega a 2/3, mas a pergunta pede a chance de ser menina.

Alternativa E — ❌ Incorreta

3/10 é a taxa de reprovação dos meninos (30%), usada como distrator. Novamente, confunde-se a taxa condicional de reprovação dentro do grupo com a probabilidade de pertencer ao grupo dado que reprovou.

Gabarito: letra C