GabaritoE — λ² + λ
Gabarito: letra E. Para uma variável aleatória X com distribuição de Poisson de parâmetro λ, o segundo momento é E(X²) = λ² + λ. Isso decorre da relação fundamental entre variância e momentos: Var(X) = E(X²) − [E(X)]², e como na Poisson a média e a variância são ambas iguais a λ, temos λ = E(X²) − λ², logo E(X²) = λ² + λ.
A distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta que modela o número de ocorrências de um evento raro em um intervalo fixo (tempo, área, volume etc.). Seus dois parâmetros mais importantes são a média e a variância, que coincidem e valem λ. Essa propriedade é a chave para resolver a questão: conhecendo a média e a variância, podemos isolar o segundo momento.
A relação entre variância e momentos é universal para qualquer variável aleatória: a variância é o valor esperado do quadrado da variável menos o quadrado do valor esperado. Formalmente, Var(X) = E(X²) − [E(X)]². Reorganizando, obtemos E(X²) = Var(X) + [E(X)]². Para a Poisson, substituímos Var(X) = λ e E(X) = λ, resultando em E(X²) = λ + λ² = λ² + λ.
A pegadinha da banca está em confundir o segundo momento com a variância ou com o quadrado da média. Muitos candidatos, ao verem "média dos quadrados", pensam diretamente em λ² (que seria apenas [E(X)]²) ou em λ (que é a média). A alternativa correta exige lembrar que E(X²) não é a variância, mas sim a variância somada ao quadrado da média.
Apresenta √λ, que não corresponde a nenhum momento ou parâmetro usual da distribuição de Poisson. O desvio padrão da Poisson é √λ, mas a questão pede E(X²), não o desvio padrão. A banca troca o segundo momento por uma medida de dispersão, induzindo ao erro de confundir momentos com desvio padrão.
Apresenta λ, que é a média (ou esperança) da distribuição de Poisson. A questão pede a média dos quadrados, E(X²), que é diferente do quadrado da média. A banca explora a confusão entre E(X²) e E(X), que são conceitos distintos: E(X) = λ, enquanto E(X²) = λ² + λ.
Apresenta λ², que é o quadrado da média, ou seja, [E(X)]². Esse valor aparece na fórmula da variância, mas não é o segundo momento. A banca induz o candidato a simplesmente elevar a média ao quadrado, esquecendo de adicionar a variância. A pegadinha é clássica: confundir E(X²) com [E(X)]².
Apresenta λ² − λ, que seria o resultado se a variância fosse λ² − λ, o que não ocorre na Poisson. Na verdade, a variância é λ, e a relação correta é E(X²) = λ² + λ. A banca inverte o sinal da operação, trocando a soma pela subtração, o que leva a um resultado incorreto.
Apresenta λ² + λ, que é exatamente o segundo momento da distribuição de Poisson. Isso decorre da relação Var(X) = E(X²) − [E(X)]², com Var(X) = λ e E(X) = λ. Portanto, E(X²) = λ + λ² = λ² + λ. A alternativa está correta e é a resposta pedida.
A banca explora a confusão entre E(X²) e [E(X)]². Muitos candidatos, ao verem "média dos quadrados", pensam em λ², mas esquecem de adicionar a variância. Lembre-se sempre: E(X²) = Var(X) + [E(X)]². Na Poisson, isso resulta em λ² + λ. Com treino, você identifica essa troca rapidamente 💪.
Para resolver questões de momentos de distribuições, memorize as relações básicas: E(X²) = Var(X) + [E(X)]² e Var(X) = E(X²) − [E(X)]². Na Poisson, média = variância = λ. Assim, E(X²) = λ² + λ. Essa fórmula é recorrente em provas de Estatística.
Gabarito: letra E.
Link permanente: /questoes/vu073584