Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — VUNESP 2023

Probabilidade em espaço amostral contínuo: o paradoxo do ponto isolado

Gabarito: letra A. A probabilidade de sortear exatamente o número π, em um espaço amostral contínuo (todos os reais entre 0 e 10), é 0, pois a probabilidade de qualquer ponto isolado em uma distribuição contínua é nula — a probabilidade só é positiva para intervalos de comprimento não nulo. Esse é um resultado clássico da teoria da probabilidade, válido para qualquer variável aleatória contínua.

A questão explora a diferença fundamental entre espaço amostral discreto e espaço amostral contínuo. No caso discreto, cada resultado individual tem probabilidade positiva (por exemplo, ao lançar um dado, cada face tem probabilidade 1/6). Já no caso contínuo, o espaço amostral é formado por um intervalo de números reais, e a probabilidade de um valor exato é sempre zero, pois há infinitos valores possíveis — a probabilidade se distribui ao longo do intervalo, e não em pontos isolados.

Formalmente, se $X$ é uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade $f(x)$, então a probabilidade de $X$ assumir um valor específico $x_0$ é:

Isso ocorre porque a integral de uma função sobre um ponto (intervalo de comprimento zero) é zero. A probabilidade de $X$ estar em um intervalo $[a, b]$ é dada pela integral de $f(x)$ de $a$ até $b$, que pode ser positiva.

No caso da questão, o espaço amostral é o intervalo $[0, 10]$, e o evento de interesse é $\{X = \pi\}$, um ponto isolado. Portanto, $P(X = \pi) = 0$. A alternativa A está correta.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A probabilidade de sortear exatamente o número π é 0, pois π é um ponto isolado em um espaço amostral contínuo. Em uma distribuição contínua, a probabilidade de qualquer valor específico é nula — a probabilidade só é positiva para intervalos de comprimento não nulo. Isso é uma consequência direta da definição de variável aleatória contínua, em que a probabilidade é dada pela área sob a curva de densidade, e a área de um ponto é zero.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa sugere que a probabilidade seria 1/10, como se houvesse 10 resultados igualmente prováveis (0, 1, 2, ..., 9). Isso seria verdadeiro se o espaço amostral fosse discreto com 10 elementos, mas o enunciado diz que é possível apostar em qualquer número real entre 0 e 10, ou seja, há infinitos valores possíveis. Portanto, a probabilidade de um valor específico não é 1/10.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa apresenta 0,31415..., que é uma aproximação de π/10 (pois π ≈ 3,1415, e π/10 ≈ 0,31415). Isso não corresponde à probabilidade de sortear π. A probabilidade de um ponto isolado em um espaço contínuo é zero, não uma fração do valor do número.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa sugere 1/100, o que seria a probabilidade se houvesse 100 resultados igualmente prováveis. Mas o espaço amostral é contínuo, com infinitos valores, então essa fração não se aplica. A probabilidade de π é zero.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa afirma que a probabilidade é maior que 0 e menor que 1/1000. Isso é falso, pois a probabilidade de um ponto isolado em um espaço contínuo é exatamente zero, não um valor positivo pequeno. A confusão aqui é pensar que, por ser um número específico, a probabilidade seria pequena mas positiva — mas em espaços contínuos, a probabilidade de qualquer valor exato é nula.

Gabarito: letra A