Estatística · VUNESP · 2023 | Questão sqc-vu073590

Variância de uma variável aleatória discreta

Gabarito: letra B. A variância de X é 49, calculada pela fórmula $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ , onde $E[X] = 10 \times 0,2 + 20 \times 0,5 + 30 \times 0,3 = 21$ e $E[X^2] = 10^2 \times 0,2 + 20^2 \times 0,5 + 30^2 \times 0,3 = 490$ , resultando em $490 - 21^2 = 49$ .

A variância mede a dispersão dos valores de uma variável aleatória em torno da sua média. Para uma variável aleatória discreta, ela é definida como o valor esperado do quadrado da diferença entre X e sua média: $Var(X) = E[(X - \mu)^2]$ . Uma identidade útil, e a mais prática para o cálculo, é:

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2

onde $E[X]$ é a esperança (média) e $E[X^2]$ é o segundo momento. Para uma variável discreta, calculamos:

E[X] = \sum x \cdot P(X = x)

E[X^2] = \sum x^2 \cdot P(X = x)

A banca explora a confusão entre variância e desvio padrão, e também entre a fórmula da variância e a simples média dos quadrados. O candidato que calcula apenas $E[X^2] = 490$ e marca a alternativa D, ou que calcula a média dos desvios sem elevar ao quadrado, cai nos distratores. A chave é lembrar de subtrair o quadrado da média.

Vamos aplicar ao caso: a variável X assume os valores 10, 20 e 30 com probabilidades 0,2, 0,5 e 0,3, respectivamente.

Primeiro, a média:

E[X] = 10 \times 0,2 + 20 \times 0,5 + 30 \times 0,3 = 2 + 10 + 9 = 21

Depois, o segundo momento:

E[X^2] = 10^2 \times 0,2 + 20^2 \times 0,5 + 30^2 \times 0,3 = 100 \times 0,2 + 400 \times 0,5 + 900 \times 0,3 = 20 + 200 + 270 = 490

Finalmente, a variância:

Var(X) = 490 - 21^2 = 490 - 441 = 49

Portanto, a variância é 49.

Distribuição de probabilidade de X — só Valores de X: 10, 20, 30; só Probabilidades: 0,2; 0,5; 0,3; Valores de X∩Probabilidades: E[X]=21, E[X²]=490

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 21 é a média $E[X]$ , não a variância. A banca troca a medida de posição pela medida de dispersão. Quem calcula apenas a média e marca esta alternativa confunde os conceitos.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 490 - 441 = 49$ . É exatamente o valor da variância da população.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 64 não corresponde a nenhuma medida direta dos dados. Ele poderia ser obtido, por exemplo, se o candidato calculasse a variância como a média dos quadrados dos desvios em relação à média, mas sem ponderar pelas probabilidades, ou se confundisse com o quadrado de um dos valores (30² = 900, 20² = 400, 10² = 100). Não há fundamento estatístico para 64.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 203 é o resultado de $E[X^2] - E[X] = 490 - 21 = 469$ ? Não, 203 não aparece diretamente. Na verdade, 203 é o valor de $E[X^2] - (E[X])^2$ se a média fosse 17? Não. O número 203 é um distrator sem relação direta com os cálculos corretos. Pode ser obtido se o candidato calcular $E[X^2] - (E[X])^2$ com erro de aritmética (por exemplo, 490 - 287 = 203, mas 287 não é 21²). Não corresponde a nenhuma medida correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 490 é o segundo momento $E[X^2]$ , não a variância. A banca explora a omissão da subtração do quadrado da média. Quem calcula apenas $E[X^2]$ e esquece de subtrair $(E[X])^2$ cai nesta alternativa.

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca a variância pelo segundo momento $E[X^2]$ (alternativa E) e pela média (alternativa A). A fórmula $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ exige os dois passos: calcular $E[X^2]$ e subtrair o quadrado da média. Memorize a fórmula e sempre verifique se você subtraiu $(E[X])^2$ .

PEGA ESSA DICA!

Para variáveis aleatórias discretas, monte uma tabela com colunas $x$ , $P(X=x)$ , $x \cdot P(X=x)$ e $x^2 \cdot P(X=x)$ . Some as duas últimas colunas para obter $E[X]$ e $E[X^2]$ , e aplique a fórmula. Isso evita erros de cálculo e é rápido na prova.

Gabarito: letra B.