Questão de Estatística — Estatística descritiva (análise exploratória de dados) — VUNESP 2023

Transformações lineares em estatística descritiva: média e desvio padrão

Gabarito: letra D. O preço médio em reais é obtido convertendo o preço médio em euros para reais e somando a margem de lucro fixa: $20 \times 6 + 20 = 140$ reais. O desvio padrão, por ser uma medida de dispersão, não é afetado pela soma de uma constante (a margem de lucro), mas é multiplicado pela constante de conversão (6), resultando em $5 \times 6 = 30$ reais. Essa é a propriedade das transformações lineares aplicada a medidas estatísticas.

A questão explora o efeito de uma transformação linear $Y = aX + b$ sobre a média e o desvio padrão. Quando multiplicamos cada valor por uma constante $a$ e somamos uma constante $b$, a média sofre a mesma transformação: $\bar{Y} = a\bar{X} + b$. Já o desvio padrão, que mede a dispersão em torno da média, é apenas multiplicado pelo módulo da constante multiplicativa: $\sigma_Y = |a| \sigma_X$. A constante aditiva $b$ desloca todos os valores igualmente, não alterando a dispersão.

No problema, a transformação é: preço em reais = (preço em euros) $\times 6 + 20$. Portanto, $a = 6$ e $b = 20$. Aplicando as propriedades:

• Média: $\bar{Y} = 20 \times 6 + 20 = 120 + 20 = 140$ reais.

• Desvio padrão: $\sigma_Y = 5 \times 6 = 30$ reais.

A pegadinha clássica é esquecer que a margem de lucro (constante aditiva) não altera o desvio padrão, ou esquecer de multiplicar o desvio padrão pela taxa de câmbio. A alternativa que apresenta o desvio padrão igual a 5 (letras A e C) ignora a conversão cambial; a que apresenta 50 (letra E) soma a margem ao desvio padrão de forma incorreta.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O preço médio de 120 reais corresponde apenas à conversão do preço médio em euros ($20 \times 6 = 120$), sem acrescentar a margem de lucro de 20 reais. O desvio padrão de 5 é o valor original em euros, sem a multiplicação pela taxa de câmbio. Portanto, ambos os valores estão incorretos.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O preço médio de 120 reais está errado pelo mesmo motivo da alternativa A: falta somar a margem de lucro. O desvio padrão de 30 reais está correto, pois $5 \times 6 = 30$. Como a média está incorreta, a alternativa é falsa.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O preço médio de 140 reais está correto ($20 \times 6 + 20 = 140$). No entanto, o desvio padrão de 5 reais está errado, pois não considera a multiplicação pela taxa de câmbio. O desvio padrão correto é 30 reais.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando corretamente a transformação linear: média $= 20 \times 6 + 20 = 140$ reais; desvio padrão $= 5 \times 6 = 30$ reais. A margem de lucro (constante aditiva) não afeta a dispersão, e a taxa de câmbio (constante multiplicativa) multiplica tanto a média quanto o desvio padrão.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O preço médio de 140 reais está correto, mas o desvio padrão de 50 reais não tem fundamento. Esse valor não corresponde a nenhuma operação válida: não é o desvio original (5), nem o convertido (30), nem a soma de 5 com 20 (25). É um distrator numérico sem base estatística.

Gabarito: letra D