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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2023

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
vu073782
Banca
VUNESP
Órgão
DPE-SP
Ano
2023
Nível
Médio
Cargo
Oficial de Defensoria
Um ajudante de uma loja de ferragens precisa distribuir, em saquinhos de plásticos, três tipos diferentes de parafusos, de agora em diante identificados com tipo A, B e C. Todos os saquinhos devem conter a mesma quantidade de parafusos e sempre parafusos de um mesmo tipo. Também foi pedido ao ajudante que cada saquinho tivesse a maior quantidade possível de parafusos. Sabendo que são 132 parafusos do tipo A, 180 parafusos do tipo B e 228 parafusos do tipo C, o número de saquinhos necessários para cumprir essa tarefa é
  1. A30.
  2. B34.
  3. C42.
  4. D45.
  5. E48.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 45.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 45 saquinhos (alternativa D).

A ideia por trás

O máximo divisor comum (MDC) é o maior número que divide dois ou mais números ao mesmo tempo, sem deixar resto. Ele serve para repartir quantidades em grupos iguais do maior tamanho possível. Quando temos três quantidades e queremos dividi-las em saquinhos com a mesma quantidade de parafusos, a quantidade por saquinho deve ser um divisor comum de todas elas; para ser a maior possível, usamos o MDC. Nesta questão, precisamos calcular o MDC de 132, 180 e 228, depois dividir cada quantidade por esse valor para achar quantos saquinhos de cada tipo são necessários e somar.

O que a questão dá

  • 132 parafusos do tipo A

  • 180 parafusos do tipo B

  • 228 parafusos do tipo C

O que queremos: o número total de saquinhos necessários

Passo 1 — Decompor cada número em fatores primos

Para achar o MDC, o primeiro passo é escrever cada número como produto de primos. Isso revela quais fatores são comuns e com quais expoentes, permitindo montar o MDC depois.

Por que esta fórmula: A decomposição em fatores primos é a forma sistemática de encontrar todos os divisores de um número. Ela é necessária porque o MDC é formado pelos fatores comuns com os menores expoentes.

132=22×3×11132 = 2^{2} \times 3 \times 11

De onde vem cada valor: 132132 = enunciado: 132 parafusos do tipo A

132=22×3×11132 = 2^{2} \times 3 \times 11
132=2 2×3×11132 = \boxed{2\ ^{2} \times 3 \times 11}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de incluir o fator 11, achando que 132 = 2^2 × 3 × 11 é igual a 2^2 × 3^2, o que daria 36, errado.

Passo 2 — Decompor 180 em fatores primos

Precisamos da decomposição de todos os números para comparar os fatores comuns. Aqui fazemos o segundo número.

Por que esta fórmula: Mesma técnica do passo anterior: fatorar 180 para identificar seus fatores primos.

180=22×32×5180 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5

De onde vem cada valor: 180180 = enunciado: 180 parafusos do tipo B

180=22×32×5180 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5
180=2 2×32×5180 = \boxed{2\ ^{2} \times 3^{2} \times 5}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir 3^2 com 3×2, escrevendo 180 = 2^2 × 6 × 5, o que está errado.

Passo 3 — Decompor 228 em fatores primos

Falta o terceiro número para comparar os fatores comuns entre os três.

Por que esta fórmula: Fatoração de 228, seguindo o mesmo método.

228=22×3×19228 = 2^{2} \times 3 \times 19

De onde vem cada valor: 228228 = enunciado: 228 parafusos do tipo C

228=22×3×19228 = 2^{2} \times 3 \times 19
228=2 2×3×19228 = \boxed{2\ ^{2} \times 3 \times 19}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a divisão: 228 ÷ 2 = 114, ÷2 = 57, ÷3 = 19. Alguns podem parar em 57 e esquecer o 3.

Passo 4 — Calcular o MDC pegando os fatores comuns

Com as três decomposições, o MDC é o produto dos fatores que aparecem em todas, com o menor expoente. Isso dá a maior quantidade de parafusos por saquinho.

Por que esta fórmula: O MDC é definido assim: para cada fator primo que aparece em todos os números, tomamos o menor expoente. Aqui, 2 aparece com expoente 2 em todos, e 3 aparece com expoente 1 em 132 e 228, e 2 em 180, então o menor é 1. O 11, 5 e 19 não aparecem em todos, então ficam de fora.

MDC=22×3MDC = 2^{2} \times 3

De onde vem cada valor: 222^{2} = passo 1, passo 2, passo 3: todos têm 2^2 · 33 = passo 1, passo 2, passo 3: todos têm pelo menos um 3

MDC=22×3=4×3=12=12 parafusosporsaquinhoMDC = 2^{2} \times 3 = 4 \times 3 = 12 = \boxed{12\ \text{parafusos} \text{por} \text{saquinho}}
NÃO CAIA NESSA!

Incluir fatores que não são comuns, como 11, 5 ou 19, o que daria um MDC maior que o correto.

Passo 5 — Dividir a quantidade de A pelo MDC

Cada saquinho terá 12 parafusos, então para saber quantos saquinhos do tipo A são necessários, dividimos o total de A por 12.

Por que esta fórmula: Se temos 132 parafusos e cada saquinho leva 12, o número de saquinhos é a divisão 132 ÷ 12.

nA=13212n_A = \frac{132}{12}

De onde vem cada valor: 132132 = enunciado: 132 parafusos do tipo A · 1212 = passo 4: MDC = 12

nA=13212=11=11 saquinhosdotipoAn_A = \frac{132}{12} = 11 = \boxed{11\ \text{saquinhos} \text{do} \text{tipo} \text{A}}
NÃO CAIA NESSA!

Fazer 132 ÷ 12 = 11, mas esquecer de somar com os outros tipos depois.

Passo 6 — Dividir a quantidade de B pelo MDC

Mesmo raciocínio para o tipo B.

Por que esta fórmula: Divisão da quantidade de B pelo tamanho de cada saquinho.

nB=18012n_B = \frac{180}{12}

De onde vem cada valor: 180180 = enunciado: 180 parafusos do tipo B · 1212 = passo 4: MDC = 12

nB=18012=15=15 saquinhosdotipoBn_B = \frac{180}{12} = 15 = \boxed{15\ \text{saquinhos} \text{do} \text{tipo} \text{B}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a divisão: 180 ÷ 12 = 15, mas alguns podem fazer 180 ÷ 12 = 15, ok, mas confundir com 180 ÷ 12 = 15, ok.

Passo 7 — Dividir a quantidade de C pelo MDC

Falta o tipo C.

Por que esta fórmula: Divisão da quantidade de C pelo tamanho de cada saquinho.

nC=22812n_C = \frac{228}{12}

De onde vem cada valor: 228228 = enunciado: 228 parafusos do tipo C · 1212 = passo 4: MDC = 12

nC=22812=19=19 saquinhosdotipoCn_C = \frac{228}{12} = 19 = \boxed{19\ \text{saquinhos} \text{do} \text{tipo} \text{C}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a divisão: 228 ÷ 12 = 19, mas alguns podem fazer 228 ÷ 12 = 19, ok, mas confundir com 228 ÷ 12 = 19, ok.

Passo 8 — Somar os saquinhos de cada tipo

O enunciado pede o número total de saquinhos, então somamos as quantidades de cada tipo.

Por que esta fórmula: Total = saquinhos de A + saquinhos de B + saquinhos de C.

Total=nA+nB+nCTotal = n_A + n_B + n_C

De onde vem cada valor: nAn_A = passo 5: 11 · nBn_B = passo 6: 15 · nCn_C = passo 7: 19

Total=11+15+19=45=45 saquinhosTotal = 11 + 15 + 19 = 45 = \boxed{45\ \text{saquinhos}}
NÃO CAIA NESSA!

Parar no MDC (12) e achar que é a resposta, mas o problema pede o número de saquinhos, não a quantidade por saquinho.

Resposta: 45 saquinhos (alternativa D)

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