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Questão de Matemática — Regra de Três — VUNESP 2023

MatemáticaRegra de Três
Código
vu073786
Banca
VUNESP
Órgão
DPE-SP
Ano
2023
Nível
Médio
Cargo
Oficial de Defensoria
Para o preparo de bandeirinhas decorativas para uma festa escolar, 12 pessoas conseguem preparar 420 bandeirinhas trabalhando durante 3 horas. Supondo que todas as pessoas preparam bandeirinhas gastando sempre o mesmo tempo, o número de pessoas necessárias para preparar 3360 bandeirinhas em 6 horas será de
  1. A48.
  2. B50.
  3. C52.
  4. D54.
  5. E56.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 48.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 48 pessoas (alternativa A).

A ideia por trás

A regra de três composta é um método para resolver problemas que envolvem três ou mais grandezas proporcionais. Ela mede como uma grandeza varia quando outras variam, mantendo a proporcionalidade. Neste caso, temos três grandezas: número de pessoas, quantidade de bandeirinhas e tempo de trabalho. A relação entre elas é de proporcionalidade: mais bandeirinhas exigem mais pessoas (direta), mas mais horas de trabalho permitem menos pessoas (inversa). Para resolver, montamos uma tabela com as duas situações, identificamos a grandeza com a incógnita (pessoas) e comparamos cada uma das outras com ela, verificando se a relação é direta ou inversa. Na relação direta, as grandezas aumentam ou diminuem juntas; na inversa, uma aumenta enquanto a outra diminui. Nesta questão, precisamos decidir a inversão correta das horas, que é o ponto crucial.

O que a questão dá

  • 12 pessoas

  • 420 bandeirinhas

  • 3 horas

  • 3360 bandeirinhas

  • 6 horas

O que queremos: o número de pessoas necessárias para preparar 3360 bandeirinhas em 6 horas

Passo 1 — Montar a tabela com as grandezas

Para organizar os dados e visualizar as relações de proporcionalidade, montamos uma tabela com as grandezas envolvidas: pessoas, bandeirinhas e horas. Isso ajuda a identificar qual grandeza é a incógnita e quais são as outras.

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de incluir todas as grandezas na tabela, o que leva a uma proporção incompleta.

Passo 2 — Comparar bandeirinhas com pessoas

A grandeza que contém a incógnita é 'pessoas'. Precisamos comparar cada uma das outras grandezas com ela para saber se a relação é direta ou inversa. Começamos pelas bandeirinhas: se aumentarmos o número de bandeirinhas, precisamos de mais pessoas para prepará-las no mesmo tempo, então a relação é direta.

NÃO CAIA NESSA!

Achar que bandeirinhas e pessoas são inversamente proporcionais, o que inverteria a fração errada.

Passo 3 — Comparar horas com pessoas

Agora comparamos as horas com as pessoas. Se aumentarmos as horas de trabalho, precisamos de menos pessoas para fazer a mesma quantidade de bandeirinhas, então a relação é inversa. Isso é crucial: a fração das horas deve ser invertida na proporção.

NÃO CAIA NESSA!

Tratar horas como diretamente proporcional, o que levaria a um resultado errado (96).

Passo 4 — Montar a proporção com a inversão

Com as relações identificadas, montamos a proporção. A grandeza com incógnita (pessoas) fica no primeiro membro. As outras grandezas formam uma fração cada: para as diretamente proporcionais, mantemos a ordem; para as inversamente, invertemos a fração. Aqui, invertemos a fração das horas (6/3 vira 3/6).

Por que esta fórmula: A regra de três composta estabelece que a razão da grandeza com incógnita é igual ao produto das razões das outras grandezas, com as inversas invertidas. Isso porque, na proporcionalidade composta, o produto das razões diretas e inversas deve ser igual.

12x=4203360×63\frac{12}{x} = \frac{420}{3360} \times \frac{6}{3}

De onde vem cada valor: 1212 = enunciado: 12 pessoas · xx = incógnita: número de pessoas procurado · 420420 = enunciado: 420 bandeirinhas · 33603360 = enunciado: 3360 bandeirinhas · 66 = enunciado: 6 horas · 33 = enunciado: 3 horas

12x=4203360×63\frac{12}{x} = \frac{420}{3360} \times \frac{6}{3}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de inverter a fração das horas, usando 6/3 em vez de 3/6.

Passo 5 — Simplificar as frações

Para facilitar o cálculo, simplificamos as frações antes de multiplicar. Isso reduz os números e evita erros de aritmética.

Por que esta fórmula: Simplificar frações significa dividir numerador e denominador por um fator comum. Aqui, 420/3360 pode ser simplificado dividindo por 420, resultando em 1/8. E 6/3 simplifica para 2.

4203360=18,63=2\frac{420}{3360} = \frac{1}{8}, \quad \frac{6}{3} = 2

De onde vem cada valor: 420420 = passo 4 · 33603360 = passo 4 · 66 = passo 4 · 33 = passo 4

4203360=18,63=2=1 /8e2\frac{420}{3360} = \frac{1}{8}, \quad \frac{6}{3} = 2 = \boxed{1\ /8 \text{e} 2}
NÃO CAIA NESSA!

Não simplificar, o que torna a multiplicação mais trabalhosa e propensa a erros.

Passo 6 — Multiplicar as frações do lado direito

Agora multiplicamos as frações simplificadas para obter um único número, que será o lado direito da proporção.

Por que esta fórmula: Multiplicação de frações: multiplica-se numerador com numerador e denominador com denominador.

18×2=28=14\frac{1}{8} \times 2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}

De onde vem cada valor: 1/81/8 = passo 5 · 22 = passo 5

18×2=28=14=1 /4\frac{1}{8} \times 2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = \boxed{1\ /4}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação, por exemplo, obtendo 2/16 em vez de 2/8.

Passo 7 — Isolar x na proporção

Com a proporção simplificada, isolamos x para encontrar seu valor. Isso é feito multiplicando cruzado.

Por que esta fórmula: Em uma proporção a/b = c/d, temos a·d = b·c. Aqui, 12/x = 1/4, então 12·4 = x·1.

12⋅4=x⋅112 \cdot 4 = x \cdot 1

De onde vem cada valor: 1212 = passo 4 · 44 = passo 6 (denominador de 1/4)

12⋅4=x12 \cdot 4 = x
x=48x = \boxed{48}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a multiplicação, por exemplo, fazendo 12/4 = 3.

Resposta: 48 pessoas (alternativa A)

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