Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — MMC e MDC — VUNESP 2023

MatemáticaMMC e MDC
Código
vu073791
Banca
VUNESP
Órgão
DPE-SP
Ano
2023
Nível
Médio
Cargo
Oficial de Defensoria
O treinamento de dois atletas consiste em dar voltas completas em uma pista. O atleta A percorre uma volta sempre em 50 segundos e o atleta B percorre uma volta sempre em 40 segundos. Em um certo dia, ambos iniciam o treinamento ao mesmo tempo e no mesmo sentido. Após 20 minutos de treinamento, o número de voltas completas dadas a mais pelo atleta B, em relação ao atleta A, é igual a
  1. A5.
  2. B6.
  3. C7.
  4. D8.
  5. E9.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 6.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 6 voltas (alternativa B).

A ideia por trás

Quando dois corpos se movem em ciclos com períodos diferentes e partem juntos, o instante em que voltam a se encontrar no ponto de partida é dado pelo mínimo múltiplo comum (MMC) dos períodos. O MMC é o menor número que é múltiplo de ambos os períodos, ou seja, o menor tempo em que cada um completa um número inteiro de ciclos. Nesse intervalo, a diferença entre as quantidades de voltas é exatamente 1, pois é o primeiro momento em que as voltas diferem por um inteiro. Nesta questão, precisamos converter o tempo total para segundos, calcular o MMC de 50 e 40, descobrir quantos encontros ocorrem em 20 minutos e multiplicar pela diferença de 1 volta por encontro.

O que a questão dá

  • tempo de uma volta do atleta A = 50 s

  • tempo de uma volta do atleta B = 40 s

  • tempo total de treinamento = 20 min

O que queremos: o número de voltas completas a mais que o atleta B dá em relação ao atleta A em 20 minutos

Passo 1 — Converter minutos em segundos

O tempo total foi dado em minutos, mas os tempos de volta estão em segundos. Para comparar e calcular quantas voltas cada um dá, precisamos usar a mesma unidade. Como 1 minuto tem 60 segundos, multiplicamos por 60.

Por que esta fórmula: A conversão de minutos para segundos usa a relação 1 min = 60 s, então multiplicamos o valor em minutos por 60.

Ts=Tmin×60T_{s} = T_{min} \times 60

De onde vem cada valor: TminT_{min} = enunciado: 20 min

Ts=20×60=1200 sT_{s} = 20 \times 60 = \boxed{1200\ \text{s}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de converter e usar 20 como se fosse segundos, o que daria um resultado muito pequeno.

Passo 2 — Calcular o MMC de 50 e 40

Para saber quando os dois atletas se encontram novamente no ponto de partida, precisamos do menor tempo que é múltiplo comum dos dois períodos. Esse tempo é o MMC.

Por que esta fórmula: O MMC é obtido fatorando cada número em primos e tomando os fatores comuns e não comuns com o maior expoente. Isso porque o MMC deve conter todas as potências necessárias para ser múltiplo de ambos.

MMC(50,40)=23×52MMC(50, 40) = 2^{3} \times 5^{2}

De onde vem cada valor: 5050 = enunciado: tempo de A · 4040 = enunciado: tempo de B

MMC=8×25=200 sMMC = 8 \times 25 = \boxed{200\ \text{s}}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular o MDC em vez do MMC, ou errar a fatoração (por exemplo, considerar 50 = 2 × 5² e 40 = 2³ × 5, mas esquecer de incluir o 5²).

Passo 3 — Interpretar o significado do MMC

O MMC de 200 s significa que a cada 200 segundos os dois atletas completam um número inteiro de voltas e se encontram no ponto de partida. Nesse intervalo, o atleta A dá 200/50 = 4 voltas e o atleta B dá 200/40 = 5 voltas, ou seja, uma volta a mais para B.

Por que esta fórmula: Para saber quantas voltas cada um dá em um intervalo de tempo, dividimos o intervalo pelo tempo de uma volta. Isso porque o número de voltas é a razão entre o tempo total e o período.

nA=20050,nB=20040n_{A} = \frac{200}{50}, \quad n_{B} = \frac{200}{40}

De onde vem cada valor: 200200 = passo 2: MMC · 5050 = enunciado: tempo de A · 4040 = enunciado: tempo de B

nA=4,nB=5=diferenc\cade1voltaporencontron_{A} = 4, \quad n_{B} = 5 = \boxed{\text{diferen}ç\text{a} \text{de} 1 \text{volta} \text{por} \text{encontro}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que a diferença por encontro é maior que 1, ou confundir as voltas de cada um.

Passo 4 — Calcular quantos encontros ocorrem em 1200 s

Como os atletas se encontram a cada 200 s, o número de encontros no tempo total é a divisão do tempo total pelo intervalo entre encontros. Isso nos dá quantas vezes a diferença de 1 volta se acumula.

Por que esta fórmula: O número de encontros é o total de tempo dividido pelo período de encontro, pois os encontros ocorrem em intervalos regulares de 200 s.

Nencontros=TsMMCN_{encontros} = \frac{T_{s}}{MMC}

De onde vem cada valor: TsT_{s} = passo 1: 1200 s · MMCMMC = passo 2: 200 s

Nencontros=1200200=6 encontrosN_{encontros} = \frac{1200}{200} = \boxed{6\ \text{encontros}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o tempo de uma volta de B (40 s) em vez do MMC, o que daria 30 encontros e uma diferença errada.

Passo 5 — Multiplicar a diferença por encontro pelo número de encontros

Cada encontro representa um momento em que B está uma volta à frente de A. Como temos 6 encontros, a diferença total de voltas é 6 vezes 1 volta.

Por que esta fórmula: A diferença total é o produto da diferença por encontro (1 volta) pelo número de encontros, pois a cada encontro a diferença aumenta em 1.

Dtotal=Nencontros×1D_{total} = N_{encontros} \times 1

De onde vem cada valor: NencontrosN_{encontros} = passo 4: 6 · 11 = passo 3: diferença por encontro

Dtotal=6×1=6 voltasD_{total} = 6 \times 1 = \boxed{6\ \text{voltas}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar e achar que a diferença é 1, ou multiplicar pelo número de voltas de B (5) em vez do número de encontros.

Resposta: 6 voltas (alternativa B)

Link permanente: /questoes/vu073791