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Questão de Matemática — Frações e Números Decimais — VUNESP 2023

MatemáticaFrações e Números Decimais
Código
vu073792
Banca
VUNESP
Órgão
DPE-SP
Ano
2023
Nível
Médio
Cargo
Oficial de Defensoria
Em um hospital, 105 funcionários são médicos ou enfermeiros. São 2 médicos para cada 13 enfermeiros. A contratação de 3 médicos e de 11 enfermeiros fez com que a razão de médicos para enfermeiros se tornasse
  1. A2/9
  2. B3/11
  3. C1/7
  4. D5/19
  5. E1/6
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GabaritoE — 1/6

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 1/6 (alternativa E).

A ideia por trás

Uma razão compara duas grandezas por meio de uma divisão: se há 2 médicos para cada 13 enfermeiros, isso significa que, para cada grupo de 2 médicos, existem 13 enfermeiros. A razão é expressa como M/E = 2/13, onde M é o número de médicos e E o de enfermeiros. O total de funcionários é a soma M + E = 105. Com essas duas equações, montamos um sistema: M = (2/13)E e M + E = 105. Substituindo a primeira na segunda, encontramos E = 91 e M = 14. Após contratar 3 médicos e 11 enfermeiros, os novos números são 17 e 102, e a razão final é 17/102, que simplificada por 17 dá 1/6. Nesta questão, o passo crucial é usar a razão e o total para achar as quantidades iniciais, depois aplicar as contratações e simplificar a fração.

O que a questão dá

  • total de funcionários = 105

  • razão inicial médicos/enfermeiros = 2/13

  • contratação: +3 médicos e +11 enfermeiros

O que queremos: a nova razão de médicos para enfermeiros após as contratações

Passo 1 — Montar o sistema de equações

Precisamos descobrir quantos médicos e enfermeiros havia antes das contratações. A razão nos dá uma relação entre eles, e o total nos dá outra. Com duas equações, conseguimos achar os dois valores.

Por que esta fórmula: A razão M/E = 2/13 pode ser reescrita como M = (2/13)E, isolando M. A soma M + E = 105 é o total de funcionários. Essas duas equações formam um sistema que resolve o problema.

M=213EeM+E=105M = \frac{2}{13}E \quad \text{e} \quad M + E = 105

De onde vem cada valor: MM = enunciado: número de médicos (desconhecido) · EE = enunciado: número de enfermeiros (desconhecido) · 213\frac{2}{13} = enunciado: razão inicial de médicos para enfermeiros · 105105 = enunciado: total de funcionários

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de montar a segunda equação (M + E = 105) e tentar resolver só com a razão, o que não é suficiente.

Passo 2 — Substituir M na equação do total

Com M expresso em função de E, podemos substituir na equação do total, ficando com uma única incógnita (E). Isso permite resolver a equação.

Por que esta fórmula: Substituímos M por (2/13)E na equação M + E = 105, pois assim a equação fica só com E.

213E+E=105\frac{2}{13}E + E = 105

De onde vem cada valor: 213E\frac{2}{13}E = passo 1: M = (2/13)E · EE = passo 1: número de enfermeiros · 105105 = enunciado: total de funcionários

213E+E=105\frac{2}{13}E + E = 105
NÃO CAIA NESSA!

Errar ao somar frações: lembre que E = (13/13)E, então (2/13)E + (13/13)E = (15/13)E.

Passo 3 — Resolver a equação para achar E

Agora temos uma equação do primeiro grau. Precisamos isolar E para descobrir quantos enfermeiros havia inicialmente.

Por que esta fórmula: A equação (15/13)E = 105 é resolvida multiplicando ambos os lados pelo inverso de 15/13, que é 13/15, para isolar E.

E=105×1315E = 105 \times \frac{13}{15}

De onde vem cada valor: 105105 = enunciado: total de funcionários · 1315\frac{13}{15} = passo 2: inverso de 15/13

E=105×1315=91 enfermeirosE = 105 \times \frac{13}{15} = \boxed{91\ \text{enfermeiros}}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a fração: usar 15/13 em vez de 13/15, o que daria E = 121,15 (errado).

Passo 4 — Calcular o número inicial de médicos

Com o número de enfermeiros conhecido, usamos o total para achar quantos médicos havia antes das contratações.

Por que esta fórmula: A soma de médicos e enfermeiros é 105, então M = 105 - E.

M=105−EM = 105 - E

De onde vem cada valor: 105105 = enunciado: total de funcionários · EE = passo 3: 91 enfermeiros

M=105−91=14 meˊdicosM = 105 - 91 = \boxed{14\ \text{m}é\text{dicos}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a razão para calcular M diretamente (M = (2/13)*91 = 14), mas esquecer de subtrair do total pode confundir.

Passo 5 — Aplicar as contratações

O problema pede a razão após as contratações, então precisamos somar os novos funcionários aos números iniciais.

Por que esta fórmula: Somamos 3 médicos e 11 enfermeiros aos valores iniciais.

Mnovo=M+3,Enovo=E+11M_{novo} = M + 3, \quad E_{novo} = E + 11

De onde vem cada valor: MM = passo 4: 14 médicos · EE = passo 3: 91 enfermeiros · 33 = enunciado: médicos contratados · 1111 = enunciado: enfermeiros contratados

Mnovo=14+3,Enovo=91+11=17 meˊdicose102enfermeirosM_{novo} = 14 + 3, \quad E_{novo} = 91 + 11 = \boxed{17\ \text{m}é\text{dicos} \text{e} 102 \text{enfermeiros}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar as contratações e usar os valores iniciais na razão final.

Passo 6 — Calcular a nova razão e simplificar

A razão final é a divisão entre os novos números. Precisamos simplificar a fração para comparar com as alternativas.

Por que esta fórmula: A razão é M_novo / E_novo. Para simplificar, dividimos numerador e denominador pelo máximo divisor comum, que é 17.

MnovoEnovo=17102=17÷17102÷17=16\frac{M_{novo}}{E_{novo}} = \frac{17}{102} = \frac{17 \div 17}{102 \div 17} = \frac{1}{6}

De onde vem cada valor: MnovoM_{novo} = passo 5: 17 médicos · EnovoE_{novo} = passo 5: 102 enfermeiros

17102=16=1 /6\frac{17}{102} = \frac{1}{6} = \boxed{1\ /6}
NÃO CAIA NESSA!

Não simplificar a fração e marcar 17/102, que não aparece nas alternativas. Ou simplificar errado, dividindo por um número que não é divisor comum.

Resposta: 1/6 (alternativa E)

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