Em certo comércio, há uma promoção para os produtos A e B que consiste em um desconto de R$ 1,00 em cada unidade do produto A e de R$ 2,00 em cada unidade do produto B, sempre que a quantidade total comprada desses produtos superar 99 unidades, seja de um só produto ou na soma das quantidades compradas de ambos os produtos. Um comprador pagou o total de R$ 830,00 na compra de 35 unidades do produto A e 40 unidades do produto B, enquanto que outro comprador pagou o total de R$ 940,00 na compra de 60 unidades do produto A e 40 unidades do produto B.Isso significa que, na compra de apenas uma unidade de cada produto, o valor total a ser pago é de
AR$ 22,00.
BR$ 24,00.
CR$ 20,00.
DR$ 28,00.
ER$ 26,00.
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GabaritoA — R$ 22,00.
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Resolução
Gabarito: letra A — a conta chega a R$ 22,00 (alternativa A).
A ideia por trás
Este problema trata de preços unitários e descontos condicionais. Preço unitário é o valor de uma única unidade do produto; quando compramos várias unidades, o total é a soma dos preços de cada uma. O desconto é uma redução no preço, que aqui é dado por unidade, mas só se aplica se a quantidade total comprada ultrapassar 99 unidades. A relação fundamental é: total pago = (preço unitário × quantidade) − desconto total, quando o desconto se aplica. Se o desconto não se aplica, o total é simplesmente a soma dos produtos. Nesta questão, precisamos descobrir os preços unitários de A e B a partir de duas compras diferentes, uma sem desconto e outra com desconto, montando um sistema de equações lineares.
O que a questão dá
1º comprador: 35 unidades de A e 40 de B, total 75, pagou R$ 830,00
2º comprador: 60 unidades de A e 40 de B, total 100, pagou R$ 940,00
Desconto: R$ 1,00 por unidade de A e R$ 2,00 por unidade de B, se total > 99
O que queremos: o preço de uma unidade de A mais uma unidade de B, sem desconto
Passo 1 — Verificar se cada compra tem desconto
Antes de montar as equações, precisamos saber se o desconto se aplica em cada compra. O desconto só vale se a quantidade total comprada for maior que 99 unidades. No primeiro caso, 35 + 40 = 75, que não é maior que 99, então não há desconto. No segundo, 60 + 40 = 100, que é maior que 99, então há desconto. Essa distinção é crucial porque muda a equação que vamos escrever.
1ª compra: sem desconto; 2ª compra: com desconto
NÃO CAIA NESSA!
Aplicar desconto nas duas compras ou em nenhuma, ignorando a condição do total > 99.
Passo 2 — Montar a equação da primeira compra
Como a primeira compra não tem desconto, o total pago é simplesmente a soma dos preços unitários multiplicados pelas quantidades. Isso nos dá uma equação com duas incógnitas: o preço de A e o preço de B.
Por que esta fórmula: O total pago sem desconto é a soma dos produtos: preço de A vezes quantidade de A mais preço de B vezes quantidade de B. Essa é a relação básica de preço unitário.
De onde vem cada valor: = enunciado: 35 unidades de A · = incógnita: preço unitário de A · = enunciado: 40 unidades de B · = incógnita: preço unitário de B · = enunciado: pagou R$ 830,00
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar o preço pela quantidade, ou usar os valores trocados.
Passo 3 — Calcular o desconto total da segunda compra
Na segunda compra, o desconto se aplica. Precisamos calcular o valor total do desconto para subtrair do preço sem desconto, pois o comprador pagou o preço já com desconto.
Por que esta fórmula: O desconto total é a soma dos descontos por unidade: desconto de A vezes quantidade de A mais desconto de B vezes quantidade de B. Aqui, o desconto de A é R$ 1,00 e o de B é R$ 2,00.
De onde vem cada valor: = enunciado: desconto de R$ 1,00 por unidade de A · = enunciado: 60 unidades de A · = enunciado: desconto de R$ 2,00 por unidade de B · = enunciado: 40 unidades de B
= R$ 140,00
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar o desconto pela quantidade, ou usar os descontos trocados.
Passo 4 — Montar a equação da segunda compra
Com o desconto total calculado, podemos escrever a equação da segunda compra. O valor pago é o preço sem desconto menos o desconto total. Isso nos dá uma segunda equação com as mesmas incógnitas.
Por que esta fórmula: O total pago com desconto é o preço sem desconto (soma dos produtos) menos o desconto total. Rearranjando, o preço sem desconto é o total pago mais o desconto.
De onde vem cada valor: = enunciado: 60 unidades de A · = incógnita: preço unitário de A · = enunciado: 40 unidades de B · = incógnita: preço unitário de B · = passo 3: desconto total · = enunciado: pagou R$ 940,00
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de somar o desconto ao total pago ao rearranjar, ou subtrair em vez de somar.
Passo 5 — Subtrair as equações para achar p_A
Temos duas equações com as mesmas incógnitas. Subtraindo uma da outra, eliminamos p_B, pois o coeficiente de p_B é o mesmo (40) nas duas. Isso nos permite encontrar p_A diretamente.
Por que esta fórmula: Quando duas equações têm o mesmo coeficiente para uma incógnita, subtraí-las elimina essa incógnita, sobrando uma equação com uma só variável. É o método da adição/subtração.
De onde vem cada valor: = passo 4: equação da segunda compra · = passo 2: equação da primeira compra · = passo 4: resultado · = passo 2: resultado
NÃO CAIA NESSA!
Errar a subtração dos coeficientes ou dos termos constantes, ou subtrair na ordem errada.
Passo 6 — Substituir p_A para achar p_B
Com p_A conhecido, podemos substituí-lo em uma das equações originais para encontrar p_B. Usamos a primeira equação, que é mais simples.
Por que esta fórmula: Substituir o valor conhecido em uma equação com duas incógnitas a transforma em uma equação com uma incógnita, que pode ser resolvida isolando p_B.
De onde vem cada valor: = enunciado: 35 unidades de A · = passo 5: p_A · = enunciado: 40 unidades de B · = enunciado: pagou R$ 830,00
NÃO CAIA NESSA!
Errar a multiplicação 35 × 10, ou errar a subtração 830 - 350.
Passo 7 — Somar os preços unitários
A pergunta pede o valor total para uma unidade de cada produto. Com os preços unitários encontrados, basta somá-los.
Por que esta fórmula: O total para uma unidade de A e uma de B é a soma dos preços unitários, pois não há desconto nessa quantidade (2 unidades não superam 99).
De onde vem cada valor: = passo 5: 10 · = passo 6: 12
R$ 22,00
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de somar, ou aplicar desconto indevidamente.