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Questão de Matemática — Geometria Plana — VUNESP 2023

MatemáticaGeometria Plana
Código
vu074399
Banca
VUNESP
Órgão
PM-SP
Ano
2023
Nível
Médio
Cargo
Soldado
Um grande terreno retangular e plano, utilizado para treinamento da Polícia Militar, tem perímetro de 2,8 km, sendo que a razão entre as medidas do menor lado e do maior lado corresponde a 0,75. Nesse terreno, traçou-se uma das diagonais, dividindo-o em duas partes triangulares de mesma área. A medida do maior lado de uma das partes triangulares em que o terreno foi dividido excede a medida do menor lado do terreno em
  1. A500 m.
  2. B700 m.
  3. C400 m.
  4. D600 m.
  5. E300 m.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 400 m.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 400 m (alternativa C).

A ideia por trás

Em um retângulo, o perímetro é a soma dos quatro lados, e a razão entre os lados indica a proporção entre eles. A diagonal divide o retângulo em dois triângulos retângulos congruentes, cuja hipotenusa é a própria diagonal. O Teorema de Pitágoras relaciona os catetos (lados do retângulo) com a hipotenusa (diagonal). Nesta questão, precisamos encontrar os lados a partir do perímetro e da razão, depois calcular a diagonal e compará-la com o menor lado.

O que a questão dá

  • perímetro = 2,8 km

  • razão entre o menor e o maior lado = 0,75

O que queremos: o quanto o maior lado da parte triangular (a diagonal) excede o menor lado do terreno

Passo 1 — Converter o perímetro para metros

As medidas dos lados serão usadas em metros, e a resposta final é em metros. Como 1 km = 1000 m, precisamos converter para trabalhar com números consistentes.

Por que esta fórmula: A conversão de unidades é direta: multiplicamos por 1000.

P=2,8×1000P = 2{,}8 \times 1000

De onde vem cada valor: PP = enunciado: 2,8 km

P=2,8×1000=2800 mP = 2{,}8 \times 1000 = \boxed{2800\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de converter e usar 2,8 como se fosse metros, o que daria lados absurdamente pequenos.

Passo 2 — Montar as equações do perímetro e da razão

Com o perímetro em metros, podemos relacionar os lados. A razão 0,75 = 3/4 nos dá uma relação entre os lados, e o perímetro nos dá outra equação.

Por que esta fórmula: O perímetro de um retângulo é 2 vezes a soma dos lados. A razão entre o menor (a) e o maior (b) é dada, então podemos expressar a em função de b.

2a+2b=2800eab=0,752a + 2b = 2800 \quad \text{e} \quad \frac{a}{b} = 0{,}75

De onde vem cada valor: aa = menor lado do retângulo · bb = maior lado do retângulo · 28002800 = passo 1 · 0,750{,}75 = enunciado: razão entre os lados

NÃO CAIA NESSA!

Confundir qual lado é o menor e qual é o maior, invertendo a razão.

Passo 3 — Expressar o menor lado em função do maior

Para resolver o sistema, precisamos de uma equação com uma única incógnita. A razão nos permite escrever a = 0,75b.

Por que esta fórmula: Da razão a/b = 0,75, multiplicamos ambos os lados por b para isolar a.

a=0,75⋅ba = 0{,}75 \cdot b

De onde vem cada valor: aa = menor lado · bb = maior lado · 0,750{,}75 = enunciado: razão

NÃO CAIA NESSA!

Escrever b = 0,75a, invertendo a relação.

Passo 4 — Substituir na equação do perímetro

Com a expressão de a, podemos substituir na equação do perímetro para encontrar b.

Por que esta fórmula: Substituímos a por 0,75b na equação 2a + 2b = 2800, resultando em uma equação apenas com b.

2(0,75b)+2b=28002(0{,}75b) + 2b = 2800

De onde vem cada valor: 0,75b0{,}75b = passo 3 · 28002800 = passo 1

2⋅0,75b+2b=28002 \cdot 0{,}75b + 2b = 2800
NÃO CAIA NESSA!

Errar a distributiva: 2·0,75b = 1,5b, e não 0,75b.

Passo 5 — Calcular o maior lado do retângulo

A equação do passo anterior tem apenas b, então podemos resolvê-la para achar o valor de b.

Por que esta fórmula: Somamos os termos com b: 1,5b + 2b = 3,5b, e dividimos ambos os lados por 3,5.

3,5b=2800⇒b=28003,53{,}5b = 2800 \Rightarrow b = \frac{2800}{3{,}5}

De onde vem cada valor: 3,5b3{,}5b = passo 4: 1,5b + 2b · 28002800 = passo 1

b=28003,5=800 mb = \frac{2800}{3{,}5} = \boxed{800\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir 2800 por 3,5 errado; lembre que 3,5 = 7/2, então 2800 ÷ 3,5 = 800.

Passo 6 — Calcular o menor lado do retângulo

Com o maior lado conhecido, usamos a razão para achar o menor lado.

Por que esta fórmula: Da relação a = 0,75b, substituímos b por 800.

a=0,75×800a = 0{,}75 \times 800

De onde vem cada valor: 0,750{,}75 = enunciado: razão · 800800 = passo 5

a=0,75×800=600 ma = 0{,}75 \times 800 = \boxed{600\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar 0,75 por 800 e errar a vírgula: 0,75·800 = 600, não 60.

Passo 7 — Calcular a diagonal pelo Teorema de Pitágoras

A diagonal do retângulo é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pelos lados. Precisamos dela porque é o maior lado da parte triangular.

Por que esta fórmula: Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Aqui, os catetos são os lados do retângulo.

d2=a2+b2d^{2} = a^{2} + b^{2}

De onde vem cada valor: aa = passo 6: 600 m · bb = passo 5: 800 m

d2=6002+8002d^{2} = 600^{2} + 800^{2}
d=1000 md = \boxed{1000\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de tirar a raiz quadrada, ficando com d² = 1.000.000 e achando que d = 1.000.000.

Passo 8 — Calcular a diferença entre a diagonal e o menor lado

A pergunta pede o quanto o maior lado da parte triangular (a diagonal) excede o menor lado do terreno.

Por que esta fórmula: A diferença é a subtração entre os dois valores.

diferenc¸a=d−a\text{diferença} = d - a

De onde vem cada valor: dd = passo 7: 1000 m · aa = passo 6: 600 m

diferenc¸a=1000−600=400 m\text{diferença} = 1000 - 600 = \boxed{400\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o maior lado do retângulo (800 m) em vez do menor, obtendo 200 m.

Resposta: 400 m (alternativa C)

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