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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2023

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
vu074406
Banca
VUNESP
Órgão
PM-SP
Ano
2023
Nível
Médio
Cargo
Soldado
Em um batalhão, a terça parte do número de soldados ingressou na Polícia Militar (PM) no ano de 2021. Do número restante de soldados desse batalhão, a quarta parte ingressou na PM no ano de 2022, e 81 soldados ingressaram na Polícia Militar em 2023. Conhecidas essas informações, é correto afirmar que o número de soldados desse batalhão que ingressaram na PM no ano de 2021 foi
  1. A56.
  2. B48.
  3. C52.
  4. D50.
  5. E54.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 54.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 54 soldados (alternativa E).

A ideia por trás

Este problema trata de frações de um total e de frações de um restante. Quando dizemos 'a terça parte do total', dividimos o total em 3 partes iguais e tomamos uma delas. Quando dizemos 'a quarta parte do restante', primeiro calculamos o que sobrou após a primeira retirada e depois dividimos esse restante em 4 partes iguais. A unidade é 'soldados', e cada fração representa uma parte do grupo. A relação central é que, se uma fração f do total T é retirada, o restante é (1 - f) vezes T. Aplicar frações sucessivamente significa multiplicar as frações: por exemplo, tirar 1/3 e depois 1/4 do que sobrou resulta em (1/3) + (1/4)*(2/3) do total retirado. Nesta questão, precisamos descobrir o total T a partir do valor de 2023 (81) e depois calcular a terça parte. O ponto-chave é que a fração de 2022 incide sobre o restante, não sobre o total.

O que a questão dá

  • terça parte do total ingressou em 2021

  • quarta parte do restante ingressou em 2022

  • 81 soldados ingressaram em 2023

O que queremos: o número de soldados que ingressaram em 2021

Passo 1 — Chamar o total de soldados de T

Precisamos de um símbolo para representar o número total de soldados, pois todas as frações são calculadas a partir dele. Chamar de T nos permite montar equações.

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de definir T e tentar resolver de cabeça, o que dificulta o raciocínio.

Passo 2 — Calcular o restante após 2021

Em 2021 ingressou a terça parte do total, ou seja, T/3. O que sobra é o total menos essa parte. Esse restante será a base para o cálculo de 2022.

Por que esta fórmula: O restante é o que não foi retirado: total menos a fração retirada. Como a fração retirada é 1/3, o restante é 2/3 do total.

R2021=T−T3=2T3R_{2021} = T - \frac{T}{3} = \frac{2T}{3}

De onde vem cada valor: TT = passo 1 · T3\frac{T}{3} = enunciado: terça parte do total ingressou em 2021

R2021=T−T3=2T3R_{2021} = T - \frac{T}{3} = \boxed{\frac{2T}{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular o restante como T - 1/3, esquecendo que a fração é de T.

Passo 3 — Calcular quantos ingressaram em 2022

O enunciado diz que em 2022 ingressou a quarta parte do restante de 2021. Precisamos aplicar a fração 1/4 sobre o valor que sobrou, não sobre o total.

Por que esta fórmula: A fração de 2022 incide sobre o restante, então multiplicamos 1/4 pelo restante calculado no passo 2.

I2022=14⋅R2021=14⋅2T3=T6I_{2022} = \frac{1}{4} \cdot R_{2021} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2T}{3} = \frac{T}{6}

De onde vem cada valor: 14\frac{1}{4} = enunciado: quarta parte do restante · R2021R_{2021} = passo 2: 2T3\frac{2T}{3}

I2022=14⋅2T3=T6I_{2022} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2T}{3} = \boxed{\frac{T}{6}}
NÃO CAIA NESSA!

Aplicar a fração sobre o total T, resultando em T/4, o que leva a um total errado.

Passo 4 — Calcular o total ingressado em 2021 e 2022

Para saber quanto sobrou para 2023, precisamos somar o que entrou nos dois primeiros anos e subtrair do total.

Por que esta fórmula: A soma de frações com denominadores diferentes exige um denominador comum. Aqui, 3 e 6 têm mínimo múltiplo comum 6.

I2021+2022=T3+T6=2T6+T6=3T6=T2I_{2021+2022} = \frac{T}{3} + \frac{T}{6} = \frac{2T}{6} + \frac{T}{6} = \frac{3T}{6} = \frac{T}{2}

De onde vem cada valor: T3\frac{T}{3} = enunciado: terça parte do total · T6\frac{T}{6} = passo 3

I2021+2022=T3+T6=T2I_{2021+2022} = \frac{T}{3} + \frac{T}{6} = \boxed{\frac{T}{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar as frações sem reduzir ao mesmo denominador, obtendo 2T/9.

Passo 5 — Calcular o restante para 2023

O que sobrou após 2021 e 2022 é o que ingressou em 2023. Esse valor é dado no enunciado como 81, então podemos igualar.

Por que esta fórmula: O restante é o total menos o que já ingressou. Como já ingressou metade, sobra a outra metade.

R2023=T−T2=T2R_{2023} = T - \frac{T}{2} = \frac{T}{2}

De onde vem cada valor: TT = passo 1 · T2\frac{T}{2} = passo 4

R2023=T−T2=T2R_{2023} = T - \frac{T}{2} = \boxed{\frac{T}{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair e achar que 2023 é T/3.

Passo 6 — Igualar o restante a 81 e achar T

O enunciado diz que em 2023 ingressaram 81 soldados, e esse valor é exatamente o restante que calculamos. Igualando, encontramos o total.

Por que esta fórmula: Temos uma equação simples: metade do total é 81. Para isolar T, multiplicamos ambos os lados por 2.

T2=81⇒T=81×2=162\frac{T}{2} = 81 \Rightarrow T = 81 \times 2 = 162

De onde vem cada valor: T2\frac{T}{2} = passo 5 · 8181 = enunciado: 81 soldados ingressaram em 2023

T2=81\frac{T}{2} = 81
T=162T = \boxed{162}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir 81 por 2 em vez de multiplicar, obtendo T = 40,5.

Passo 7 — Calcular o número de 2021

Agora que sabemos o total, podemos calcular a terça parte, que é o que a questão pede.

Por que esta fórmula: A terça parte de um número é obtida dividindo-o por 3.

I2021=T3=1623=54I_{2021} = \frac{T}{3} = \frac{162}{3} = 54

De onde vem cada valor: TT = passo 6: 162

I2021=1623=54 soldadosI_{2021} = \frac{162}{3} = \boxed{54\ \text{soldados}}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular 162/2 = 81, confundindo com o valor de 2023.

Resposta: 54 soldados (alternativa E)

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