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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2023

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
vu074569
Banca
VUNESP
Órgão
Prefeitura de Campinas - SP
Ano
2023
Nível
Médio
Cargo
Agente Administrativo
No estoque de uma empresa há somente caixas dos produtos A e B, no total de 200 caixas, de modo que a razão do número de caixas do produto A para o número de caixas do produto B é 3/5. Após a venda de 20 caixas do produto B e nenhuma caixa do produto A, a razão citada passou a ser igual a
  1. A2/3
  2. B5/7
  3. C3/5
  4. D2/5
  5. E4/7
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 5/7

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 5/7 (alternativa B).

A ideia por trás

A razão entre duas grandezas é a comparação por quociente entre elas: se a razão A/B é 3/5, isso significa que, para cada 3 caixas de A, há 5 de B. Para transformar essa razão em quantidades concretas, usamos uma constante de proporcionalidade k: A = 3k e B = 5k. A constante k é o fator que escala a razão para o tamanho real do estoque; ela é encontrada usando o total de caixas. Quando uma das grandezas muda (como a venda de caixas de B), a razão muda, e é preciso recalcular com as novas quantidades. Nesta questão, o passo crucial é descobrir quantas caixas de cada produto existem antes da venda, subtrair as 20 caixas de B e então recalcular a razão.

O que a questão dá

  • total de caixas = 200

  • razão A/B = 3/5

  • venda de 20 caixas de B

O que queremos: a nova razão entre o número de caixas de A e de B após a venda

Passo 1 — Escrever as quantidades em função de k

A razão 3/5 nos diz a proporção entre A e B, mas não os valores reais. Para transformar a razão em quantidades, usamos uma constante k que multiplica cada parte da razão: A = 3k e B = 5k. Isso preserva a proporção e nos permite usar o total para achar k.

Por que esta fórmula: Se a razão A/B = 3/5, então A e B são múltiplos de 3 e 5 respectivamente, com o mesmo fator k. Essa é a forma padrão de converter uma razão em quantidades quando se conhece o total.

A=3k,B=5kA = 3k, \quad B = 5k

De onde vem cada valor: 33 = enunciado: razão A/B = 3/5 · 55 = enunciado: razão A/B = 3/5 · kk = constante de proporcionalidade (a determinar)

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que A e B são múltiplos de 3 e 5, e tentar usar A=3 e B=5 diretamente.

Passo 2 — Montar a equação do total

Temos duas incógnitas (A e B) e uma relação entre elas. O total de 200 caixas nos dá uma segunda equação, permitindo achar k. Somamos as expressões de A e B e igualamos a 200.

Por que esta fórmula: O total é a soma das quantidades de A e B, então A + B = 200. Substituindo A = 3k e B = 5k, obtemos uma equação só com k.

3k+5k=2003k + 5k = 200

De onde vem cada valor: 3k3k = passo 1: A = 3k · 5k5k = passo 1: B = 5k · 200200 = enunciado: total de 200 caixas

3k+5k=2003k + 5k = 200
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar os coeficientes de k, escrevendo 3k + 5k = 8k, mas errar na soma.

Passo 3 — Calcular o valor de k

Com a equação 8k = 200, isolamos k dividindo ambos os lados por 8. Esse k é o fator que transforma a razão em quantidades reais.

Por que esta fórmula: Para isolar k, dividimos os dois lados da equação pelo coeficiente de k, que é 8.

k=2008k = \frac{200}{8}

De onde vem cada valor: 200200 = passo 2: 3k + 5k = 200 · 88 = passo 2: 3 + 5 = 8

k=2008=25k = \frac{200}{8} = \boxed{25}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir 200 por 8 errado, ou esquecer que k é um número sem unidade.

Passo 4 — Descobrir as quantidades iniciais de A e B

Com k = 25, multiplicamos 3 e 5 por 25 para obter o número real de caixas de cada produto. Isso é necessário porque a razão sozinha não dá as quantidades absolutas.

Por que esta fórmula: Usamos as expressões do passo 1: A = 3k e B = 5k, substituindo k pelo valor encontrado.

A=3⋅k,B=5⋅kA = 3 \cdot k, \quad B = 5 \cdot k

De onde vem cada valor: 33 = passo 1: A = 3k · 55 = passo 1: B = 5k · kk = passo 3: k = 25

A=3⋅25,B=5⋅25A = 3 \cdot 25, \quad B = 5 \cdot 25

A = 75, B = 125

NÃO CAIA NESSA!

Trocar os valores, colocando A = 125 e B = 75.

Passo 5 — Subtrair as caixas vendidas de B

A venda de 20 caixas de B altera apenas a quantidade de B. Subtraímos 20 de B para obter a nova quantidade, mantendo A inalterado.

Por que esta fórmula: A nova quantidade de B é a quantidade inicial menos as vendidas: B_novo = B - 20.

Bnovo=B−20B_{novo} = B - 20

De onde vem cada valor: BB = passo 4: B = 125 · 2020 = enunciado: venda de 20 caixas de B

Bnovo=125−20=105 caixasB_{novo} = 125 - 20 = \boxed{105\ \text{caixas}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair 20 de A em vez de B, ou subtrair da razão diretamente.

Passo 6 — Calcular a nova razão A/B

Com as novas quantidades, calculamos a razão entre A e B. A razão é uma fração, e devemos simplificá-la para comparar com as alternativas.

Por que esta fórmula: A razão é o quociente entre as quantidades: razão = A / B_novo. Usamos os valores atualizados.

raza˜o=ABnovo\text{razão} = \frac{A}{B_{novo}}

De onde vem cada valor: AA = passo 4: A = 75 · BnovoB_{novo} = passo 5: B_novo = 105

raza˜o=75105=75 /105\text{razão} = \frac{75}{105} = \boxed{75\ /105}
NÃO CAIA NESSA!

Não simplificar a fração, ou inverter a razão (B/A).

Passo 7 — Simplificar a fração

Para identificar a alternativa, precisamos da fração irredutível. Dividimos numerador e denominador pelo máximo divisor comum, que é 15.

Por que esta fórmula: 75 e 105 são ambos divisíveis por 15 (75 ÷ 15 = 5, 105 ÷ 15 = 7). Dividir ambos pelo mesmo número não altera o valor da razão.

75105=75÷15105÷15\frac{75}{105} = \frac{75 \div 15}{105 \div 15}

De onde vem cada valor: 7575 = passo 6: numerador · 105105 = passo 6: denominador · 1515 = máximo divisor comum de 75 e 105

75105=57=5 /7\frac{75}{105} = \frac{5}{7} = \boxed{5\ /7}
NÃO CAIA NESSA!

Simplificar por um número errado, como 5, obtendo 15/21 (que ainda pode simplificar), ou não simplificar completamente.

Resposta: 5/7 (alternativa B)

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