Em um depósito há determinado número de caixas que serão empilhadas, de modo que cada pilha tenha sempre o mesmo número de caixas. Desse modo é possível colocar em cada pilha ou 9, ou 12 ou 14 caixas, e não restará caixa fora das pilhas. Sabendo que o número total dessas caixas é menor que 260, então, se forem colocadas 14 caixas em cada pilha, o número de pilhas formadas será
A20.
B16.
C15.
D14.
E18.
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GabaritoE — 18.
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Resolução
Gabarito: letra E — a conta chega a 18 pilhas (alternativa E).
A ideia por trás
O mínimo múltiplo comum (MMC) entre dois ou mais números é o menor número que é múltiplo de todos eles. Ele aparece em situações em que precisamos encontrar um total que possa ser dividido igualmente por vários tamanhos de grupos, como empilhar caixas em pilhas com o mesmo número de caixas. O MMC é calculado fatorando os números em primos e tomando cada fator com o maior expoente que aparece. Nesta questão, o total de caixas deve ser múltiplo de 9, 12 e 14, e como é menor que 260, só pode ser o próprio MMC. Depois de achar o total, dividimos por 14 para obter o número de pilhas.
O que a questão dá
caixas por pilha possíveis: 9, 12 ou 14
total de caixas menor que 260
O que queremos: o número de pilhas formadas se forem colocadas 14 caixas em cada pilha
Passo 1 — Entender que o total é múltiplo comum
O total de caixas precisa ser divisível por 9, 12 e 14, pois cada pilha tem sempre o mesmo número de caixas e não sobra nenhuma. Isso significa que o total é um múltiplo comum desses três números. Como o total é menor que 260, o único múltiplo comum que serve é o menor deles, o MMC.
NÃO CAIA NESSA!
Achar que o total pode ser qualquer múltiplo comum, mas o limite de 260 força o uso do MMC.
Passo 2 — Fatorar os números em primos
Para calcular o MMC, precisamos fatorar cada número em seus fatores primos. Isso nos mostra quais primos e com quais expoentes aparecem, para depois combinar.
De onde vem cada valor: = enunciado: 9 caixas por pilha · = enunciado: 12 caixas por pilha · = enunciado: 14 caixas por pilha
NÃO CAIA NESSA!
Fatorar errado, por exemplo, esquecer que 12 = 2^2 * 3.
Passo 3 — Calcular o MMC
O MMC é o produto dos fatores primos com os maiores expoentes encontrados. Isso garante que o resultado seja divisível por todos os números.
Por que esta fórmula: O MMC é obtido multiplicando os fatores primos comuns e não comuns, cada um com o maior expoente. Aqui, os maiores expoentes são 2^2, 3^2 e 7.
De onde vem cada valor: = passo 2: 12 tem 2^2 · = passo 2: 9 tem 3^2 · = passo 2: 14 tem 7
NÃO CAIA NESSA!
Usar apenas os fatores comuns, esquecendo os não comuns, ou usar expoentes menores.
Passo 4 — Confirmar que 252 é o total
O total de caixas é o MMC, pois é o menor múltiplo comum e é menor que 260. Qualquer outro múltiplo comum (504, 756, ...) seria maior que 260, então não serve.
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de verificar a condição de ser menor que 260.
Passo 5 — Dividir o total por 14
Com o total de caixas conhecido, para saber quantas pilhas de 14 caixas são formadas, dividimos o total por 14.
Por que esta fórmula: O número de pilhas é o total de caixas dividido pelo número de caixas por pilha.
De onde vem cada valor: = passo 4: 252 · = enunciado: 14 caixas por pilha
NÃO CAIA NESSA!
Dividir por 9 ou 12 por engano, ou esquecer de dividir e marcar 252.