Questão de Matemática — Frações e Números Decimais — VUNESP 2023

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 72 pastas (alternativa C).

A ideia por trás

Frações representam partes de um todo. Quando dizemos '1/5 do total', estamos dividindo o total em 5 partes iguais e pegando uma delas. A soma de todas as partes deve ser igual ao todo. Nesta questão, o total de pastas é desconhecido, e as frações de cada prateleira são dadas em relação a esse total. A ideia é montar uma equação que iguala a soma das partes ao total, resolvê-la para encontrar o total e então calcular a fração correspondente à primeira prateleira.

O que a questão dá

• 3 prateleiras com 1/5 do total cada

• 2 prateleiras com 1/8 do total cada

• 1 prateleira com 54 pastas

• total de pastas = T (desconhecido)

O que queremos: o número de pastas na 1ª prateleira

Passo 1 — Montar a equação do total

Precisamos relacionar todas as partes com o total desconhecido. Como a soma das pastas em todas as prateleiras é o total, escrevemos essa soma como uma equação.

Por que esta fórmula: Cada prateleira contribui com uma fração do total ou um número fixo. Somamos as contribuições das 3 primeiras (1/5 cada), das 2 do meio (1/8 cada) e da última (54) e igualamos ao total T.

De onde vem cada valor: $3$ = enunciado: três primeiras prateleiras · $\frac{1}{5}$ = enunciado: cada uma das três primeiras recebe 1/5 do total · $2$ = enunciado: quarta e quinta prateleiras · $\frac{1}{8}$ = enunciado: cada uma dessas recebe 1/8 do total · $54$ = enunciado: última prateleira tem 54 pastas · $T$ = total de pastas (incógnita)

Passo 2 — Simplificar as frações

Para resolver a equação, precisamos combinar os termos com T. Multiplicamos os coeficientes das frações pelas quantidades de prateleiras.

Por que esta fórmula: Multiplicar 3 por 1/5 dá 3/5, e 2 por 1/8 dá 2/8, que simplifica para 1/4. Isso reduz a equação a uma forma mais simples.

De onde vem cada valor: $\frac{3}{5}$ = passo 1: 3 × 1/5 · $\frac{1}{4}$ = passo 1: 2 × 1/8 = 2/8 = 1/4 · $54$ = enunciado · $T$ = total

Passo 3 — Somar as frações com T

Precisamos isolar T. Para isso, somamos os coeficientes de T usando o mínimo múltiplo comum dos denominadores.

Por que esta fórmula: Para somar frações com denominadores diferentes, usamos o MMC. Entre 5 e 4, o MMC é 20. Convertemos cada fração para ter denominador 20 e somamos.

De onde vem cada valor: $\frac{3}{5}$ = passo 2 · $\frac{1}{4}$ = passo 2 · $\frac{12}{20}$ = 3/5 = 12/20 (multiplica por 4) · $\frac{5}{20}$ = 1/4 = 5/20 (multiplica por 5)

Passo 4 — Isolar o total T

Com a soma das frações conhecida, reescrevemos a equação para encontrar T. Subtraímos (17/20)T de ambos os lados.

Por que esta fórmula: A equação original é (17/20)T + 54 = T. Subtraindo (17/20)T dos dois lados, obtemos 54 = T - (17/20)T = (1 - 17/20)T = (3/20)T.

De onde vem cada valor: $54$ = enunciado · $\frac{17}{20}$ = passo 3 · $\frac{3}{20}$ = 1 - 17/20 = 3/20

Passo 5 — Calcular o total de pastas

Agora temos uma equação simples: 54 é igual a 3/20 do total. Para achar T, multiplicamos ambos os lados pelo inverso de 3/20.

Por que esta fórmula: Se 54 = (3/20)T, então T = 54 ÷ (3/20) = 54 × (20/3). Isso porque dividir por uma fração é multiplicar pelo seu inverso.

De onde vem cada valor: $54$ = passo 4 · $\frac{20}{3}$ = inverso de 3/20

Passo 6 — Achar as pastas da 1ª prateleira

Com o total conhecido, calculamos a fração correspondente à primeira prateleira: 1/5 do total.

Por que esta fórmula: A primeira prateleira recebeu 1/5 do total. Para achar essa quantidade, dividimos o total por 5.

De onde vem cada valor: $\frac{1}{5}$ = enunciado: primeira prateleira recebe 1/5 · $T$ = passo 5: 360

Resposta: 72 pastas (alternativa C)