Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — VUNESP 2023

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 25 atletas (alternativa C).

A ideia por trás

Este é um problema de conjuntos, resolvido com o diagrama de Venn. A ideia é separar os atletas em grupos que não se sobrepõem: apenas corrida, apenas salto, corrida e salto, e apenas lançamento de disco. Como quem lançou disco não fez outra modalidade, esse grupo fica isolado, sem interseção com os outros. A soma de todos os grupos é o total de 85 atletas. A relação entre o lançamento de disco e a interseção corrida-salto é dada: o disco tem o dobro de participantes da interseção. Com isso, montamos uma equação que relaciona as quantidades e permite achar a interseção, e depois o valor de apenas corrida. O princípio da inclusão-exclusão garante que, ao somar os grupos separados, não contamos ninguém duas vezes.

O que a questão dá

• total de atletas = 85

• participantes da corrida com barreiras = 40

• participantes do salto em altura = 30

• participantes do lançamento de disco = dobro dos que fizeram corrida e salto

• lançamento de disco: somente essa modalidade

O que queremos: o número de atletas que participou apenas de corrida com barreiras

Passo 1 — Definir a incógnita x

Precisamos de um nome para a quantidade de atletas que fizeram corrida e salto, pois ela aparece nas contas de corrida, salto e disco. Chamar de x permite escrever as outras quantidades em função dela.

Passo 2 — Expressar apenas corrida em função de x

O total de participantes da corrida é 40, e esse total é formado por quem fez apenas corrida mais quem fez corrida e salto (x). Então, apenas corrida = 40 - x.

Por que esta fórmula: A fórmula vem da decomposição do conjunto corrida: ele é a união de duas partes disjuntas: apenas corrida e a interseção com salto.

De onde vem cada valor: $40$ = enunciado: corrida com barreiras teve 40 participantes · $x$ = passo 1

Passo 3 — Expressar apenas salto em função de x

Analogamente, o total do salto é 30, composto por apenas salto mais a interseção x. Então apenas salto = 30 - x.

Por que esta fórmula: Mesma lógica do passo anterior: o conjunto salto é a união de apenas salto e a interseção com corrida.

De onde vem cada valor: $30$ = enunciado: salto em altura teve 30 participantes · $x$ = passo 1

Passo 4 — Expressar o lançamento de disco

O enunciado diz que o número de atletas do lançamento de disco é o dobro do número de atletas que disputou exatamente corrida e salto. Como quem lançou disco não fez outra modalidade, esse grupo é isolado.

Por que esta fórmula: A relação é direta: dobro de x.

De onde vem cada valor: $x$ = passo 1

Passo 5 — Montar a equação do total

Como todos os 85 atletas competiram em pelo menos uma modalidade, a soma de todas as regiões do diagrama de Venn é 85. Isso nos dá uma equação para achar x.

Por que esta fórmula: O total é a soma das partes disjuntas: apenas corrida, apenas salto, interseção corrida-salto, e disco. Não há outras interseções porque o disco é isolado.

De onde vem cada valor: $40 - x$ = passo 2 · $30 - x$ = passo 3 · $x$ = passo 1 · $2x$ = passo 4 · $85$ = enunciado: total de atletas

Passo 6 — Resolver a equação para x

A equação do total tem apenas uma incógnita, x. Resolvendo, encontramos quantos atletas fizeram corrida e salto.

Por que esta fórmula: Simplificamos os termos semelhantes: (40+30) + (-x-x+x+2x) = 85, ou seja, 70 + x = 85.

De onde vem cada valor: $70$ = soma de 40 e 30 · $x$ = coeficiente resultante de -x -x + x + 2x · $85$ = passo 5

Passo 7 — Calcular apenas corrida

Com x = 15, substituímos na expressão do passo 2 para achar o número de atletas que fez apenas corrida.

Por que esta fórmula: A expressão C_apenas = 40 - x já foi deduzida; agora é só substituir o valor de x.

De onde vem cada valor: $40$ = enunciado · $x$ = passo 6: 15

Resposta: 25 atletas (alternativa C)