Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — VUNESP 2023

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 8 embalagens (alternativa A).

A ideia por trás

Este é um problema de otimização: queremos atingir uma quantidade exata (630 copos) usando o menor número possível de embalagens, que vêm em tamanhos fixos (20, 30, 80, 100). A ideia é que, para minimizar a quantidade de embalagens, devemos usar o máximo possível das maiores, pois cada embalagem grande 'rende' mais copos por unidade. A condição de levar pelo menos uma embalagem de 20 impede que a solução seja trivial (como 6 de 100 e 1 de 30, que daria 630 sem a de 20). Precisamos encontrar uma combinação exata que respeite essa restrição e tenha o menor número de parcelas.

O que a questão dá

• embalagens de 20, 30, 80 e 100 unidades

• total de copos = 630

• pelo menos uma embalagem de 20

O que queremos: o número mínimo de embalagens para comprar exatamente 630 copos

Passo 1 — Calcular quantas embalagens de 100 cabem

Para minimizar o número de embalagens, devemos usar o máximo possível das maiores. A embalagem de 100 é a maior, então começamos por ela. Dividimos 630 por 100 para ver quantas cabem sem ultrapassar.

Por que esta fórmula: A divisão inteira nos dá o maior número de embalagens de 100 que podemos usar sem passar de 630.

De onde vem cada valor: $630$ = enunciado: total de copos · $100$ = enunciado: capacidade da maior embalagem

Passo 2 — Calcular o que falta após as de 100

Com 6 embalagens de 100, temos 600 copos. Precisamos saber quanto falta para 630, para decidir as próximas embalagens.

Por que esta fórmula: Subtração simples para achar o restante.

De onde vem cada valor: $630$ = enunciado: total de copos · $600$ = passo 1: 6 × 100

30 copos restantes

Passo 3 — Tentar completar com embalagens de 30

Faltam 30 copos, e existe uma embalagem de 30. Isso parece perfeito, mas precisamos lembrar da condição de incluir pelo menos uma de 20. Se usarmos 1 de 30, não sobra espaço para a de 20, então essa combinação não serve.

Por que esta fórmula: A embalagem de 30 preencheria exatamente o restante, mas a condição do problema impede.

De onde vem cada valor: $30$ = enunciado: embalagem de 30

Passo 4 — Reduzir as de 100 para incluir a de 20

Como a combinação 6×100 + 1×30 não inclui a embalagem de 20, precisamos ajustar. Vamos tentar 5 embalagens de 100, que dá 500, e ver quanto falta.

Por que esta fórmula: Reduzir uma embalagem de 100 abre espaço para outras combinações que incluam a de 20.

De onde vem cada valor: $5$ = decisão: tentar uma a menos · $100$ = enunciado: embalagem de 100

Passo 5 — Calcular o novo restante

Com 500 copos, precisamos de 130 para chegar a 630. Vamos decompor esse valor usando as embalagens disponíveis.

Por que esta fórmula: Subtração para achar o quanto falta.

De onde vem cada valor: $630$ = enunciado: total · $500$ = passo 4

130 copos restantes

Passo 6 — Compor 130 com embalagens de 80, 30 e 20

Agora precisamos formar 130 usando as embalagens menores. A maior disponível é 80, então tentamos 1 de 80, sobrando 50. Depois, 1 de 30, sobrando 20, que é exatamente uma de 20. Isso inclui a embalagem de 20 obrigatória.

Por que esta fórmula: Decomposição do restante em parcelas que correspondem às embalagens disponíveis.

De onde vem cada valor: $130$ = passo 5 · $80$ = enunciado: embalagem de 80 · $30$ = enunciado: embalagem de 30 · $20$ = enunciado: embalagem de 20

$130$ = 1 de 80, 1 de 30, 1 de 20

Passo 7 — Contar o total de embalagens

Somamos as quantidades de cada tipo para obter o número total de embalagens da combinação encontrada.

Por que esta fórmula: A soma das quantidades de cada tamanho dá o total de embalagens.

De onde vem cada valor: $5$ = passo 4: embalagens de 100 · $1$ = passo 6: embalagem de 20

Resposta: 8 embalagens (alternativa A)