Questão de Matemática — Porcentagem — VUNESP 2023

Porcentagem: variação percentual e fator de multiplicação

Gabarito: letra A. O hospital de médio porte passa de 140 para 182 leitos (aumento de 30%); para que o de grande porte (210 leitos) fique com o mesmo número, é preciso reduzi-lo para 182, o que representa uma redução de aproximadamente 13,33% — valor entre 12% e 14%. A resolução usa o conceito de fator de aumento/redução: multiplicar por $(1 + i)$ para aumentar e por $(1 - i)$ para reduzir.

A questão cobra a aplicação direta de variação percentual. O ponto central é entender que, para igualar os dois hospitais, primeiro calculamos o novo valor do médio porte após o aumento e, em seguida, determinamos qual redução percentual aplicada ao grande porte resulta nesse mesmo valor. A pegadinha comum é calcular a redução sobre o valor original do grande porte (210) de forma errada, ou confundir a base de cálculo da porcentagem.

Vamos ao passo a passo:

1. Aumento de 30% no hospital de médio porte:

   • Valor original: 140 leitos.

   • Fator de aumento: $1 + 0,30 = 1,30$.

   • Novo valor: $140 \times 1,30 = 182$ leitos.

1. Redução no hospital de grande porte:

   • Valor original: 210 leitos.

   • Valor desejado: 182 leitos (igual ao médio porte).

   • Redução absoluta: $210 - 182 = 28$ leitos.

   • Redução percentual: $\frac{28}{210} \times 100\% = \frac{2}{15} \times 100\% \approx 13,33\%$.

Portanto, a redução foi de aproximadamente 13,33%, que está entre 12% e 14%.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A redução percentual é de $13,33\%$, que está entre 12% e 14%. O cálculo é direto: primeiro aplicamos o aumento de 30% sobre 140 leitos, obtendo 182; depois, calculamos a redução percentual de 210 para 182, que é $\frac{28}{210} \times 100\% = 13,33\%$. A alternativa está correta porque o valor encontrado cai exatamente no intervalo indicado.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O intervalo de 10% a 12% é menor que o valor correto de 13,33%. O erro aqui seria subestimar a redução necessária, talvez por calcular a redução sobre o valor final (182) em vez do valor original (210), o que daria $\frac{28}{182} \times 100\% \approx 15,38\%$, ou por erro de arredondamento. O valor correto é 13,33%, que não está nesse intervalo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O intervalo de 16% a 18% é maior que o valor correto de 13,33%. Esse erro pode ocorrer se o aluno calcular a redução sobre o valor final (182) em vez do original (210), obtendo $\frac{28}{182} \times 100\% \approx 15,38\%$, ou se cometer um erro de cálculo. O valor correto é 13,33%, que não está nesse intervalo.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O intervalo de 14% a 16% é ligeiramente maior que o valor correto de 13,33%. Esse erro pode ocorrer se o aluno calcular a redução sobre o valor final (182) em vez do original (210), obtendo $\frac{28}{182} \times 100\% \approx 15,38\%$, que está nesse intervalo. No entanto, a base correta é o valor original (210), resultando em 13,33%.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O intervalo de 18% a 20% é significativamente maior que o valor correto de 13,33%. Esse erro pode ocorrer se o aluno calcular a redução de forma incorreta, como subtrair 182 de 210 e dividir por 182, obtendo $\frac{28}{182} \times 100\% \approx 15,38\%$, ou se cometer um erro de cálculo mais grave. O valor correto é 13,33%, que não está nesse intervalo.

Gabarito: letra A