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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2023

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
vu074744
Banca
VUNESP
Órgão
Prefeitura de Guararapes - SP
Ano
2023
Nível
Médio
Cargo
Telefonista
O número de alunos, que é menor que 80, que participará de uma atividade externa, pode ser totalmente distribuído em grupos contendo 12, ou 20 ou 15 alunos em cada um, sem restar nenhum aluno, sendo que cada grupo formado terá, necessariamente, um professor como monitor. Sabe-se que a direção decidiu que cada grupo terá 12 alunos.Nesse caso, o número de monitores necessários será igual a
  1. A4.
  2. B5.
  3. C6.
  4. D7.
  5. E8.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 5.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 5 monitores (alternativa B).

A ideia por trás

Múltiplos e divisores são a base: um número é múltiplo de outro quando a divisão é exata. O MMC (mínimo múltiplo comum) é o menor número que é múltiplo de vários números ao mesmo tempo. Aqui, o total de alunos deve ser múltiplo de 12, 20 e 15, e menor que 80. O MMC de 12, 20 e 15 é 60, que é o único múltiplo comum menor que 80. Depois, com grupos de 12, dividimos 60 por 12 para achar o número de grupos, que é igual ao número de monitores.

O que a questão dá

  • número de alunos < 80

  • grupos de 12, 20 ou 15 alunos sem sobrar ninguém

  • cada grupo tem 1 professor monitor

  • direção decidiu grupos de 12 alunos

O que queremos: o número de monitores necessários

Passo 1 — Fatorar os números 12, 20 e 15

Para calcular o MMC, precisamos da decomposição em fatores primos de cada número. Isso mostra os fatores que compõem cada um, e o MMC será o produto dos fatores comuns e não comuns de maior expoente.

Por que esta fórmula: A fatoração é o método padrão para achar o MMC: escrevemos cada número como produto de primos.

12=22×3,20=22×5,15=3×512 = 2^{2} \times 3, \quad 20 = 2^{2} \times 5, \quad 15 = 3 \times 5

De onde vem cada valor: 1212 = enunciado: grupos de 12 · 2020 = enunciado: grupos de 20 · 1515 = enunciado: grupos de 15

12=22×3,20=22×5,15=3×512 = 2^{2} \times 3, \quad 20 = 2^{2} \times 5, \quad 15 = 3 \times 5

12 = 2² × 3, 20 = 2² × 5, 15 = 3 × 5

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de fatorar corretamente, por exemplo, escrever 20 = 2 × 10 em vez de 2² × 5.

Passo 2 — Calcular o MMC de 12, 20 e 15

O MMC é o menor número que é múltiplo de todos eles. Como o total de alunos deve ser divisível por 12, 20 e 15, ele precisa ser um múltiplo comum. O MMC é o menor desses múltiplos comuns.

Por que esta fórmula: O MMC é obtido multiplicando os fatores primos comuns e não comuns com o maior expoente. Isso garante que o número resultante seja divisível por todos.

MMC=22×3×5MMC = 2^{2} \times 3 \times 5

De onde vem cada valor: 222^{2} = passo 1: aparece em 12 e 20 · 33 = passo 1: aparece em 12 e 15 · 55 = passo 1: aparece em 20 e 15

MMC=4×3×5=60MMC = 4 \times 3 \times 5 = \boxed{60}
NÃO CAIA NESSA!

Usar apenas os fatores comuns, esquecendo os não comuns, o que daria um número menor e errado.

Passo 3 — Confirmar que 60 é menor que 80

O enunciado diz que o número de alunos é menor que 80. O MMC é 60, que satisfaz essa condição. O próximo múltiplo comum seria 120, que já passa de 80, então 60 é o único possível.

60 <80\boxed{60\ < 80}
NÃO CAIA NESSA!

Não verificar se o MMC atende à condição de ser menor que 80, ou considerar múltiplos maiores.

Passo 4 — Dividir o total de alunos pelo tamanho do grupo

A direção decidiu que cada grupo terá 12 alunos. Para saber quantos grupos serão formados, dividimos o total de alunos (60) por 12. Cada grupo tem um monitor, então o número de grupos é o número de monitores.

Por que esta fórmula: A divisão é a operação que reparte uma quantidade em partes iguais. Aqui, repartimos 60 alunos em grupos de 12.

monitores=6012\text{monitores} = \frac{60}{12}

De onde vem cada valor: 6060 = passo 2: MMC de 12, 20 e 15 · 1212 = enunciado: grupos de 12 alunos

monitores=6012=5 monitores\text{monitores} = \frac{60}{12} = \boxed{5\ \text{monitores}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir 80 por 12, obtendo aproximadamente 6,67, e arredondar para 6 ou 7, sem perceber que o total de alunos é 60, não 80.

Resposta: 5 monitores (alternativa B)

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