GabaritoD — 42 cm.
Gabarito: letra D — a conta chega a 42 cm (alternativa D).
O perímetro de um retângulo é a soma de todos os seus lados, ou seja, o dobro da soma da base com a altura. Para encontrá-lo, precisamos conhecer as medidas dos lados. A área de um retângulo é o produto da base pela altura, e o enunciado nos dá duas informações: o valor dessa área e a diferença entre os lados. Com essas duas equações, montamos um sistema que nos permite descobrir as dimensões. Nesta questão, o desafio é justamente encontrar os lados a partir dessas condições e então calcular o perímetro.
área = 108 cm²
diferença entre os lados = 3 cm
O que queremos: o perímetro do retângulo
Precisamos traduzir as informações do enunciado em equações matemáticas. Chamando os lados de x e y, a área é x·y e a diferença é x−y. Com duas equações, podemos encontrar os dois valores.
Por que esta fórmula: A área de um retângulo é sempre o produto dos lados, e a diferença é a subtração entre eles. Essas são as duas relações que ligam as incógnitas.
De onde vem cada valor: = enunciado: um dos lados do retângulo · = enunciado: o outro lado do retângulo · = enunciado: área = 108 cm² · = enunciado: diferença entre os lados = 3 cm
Esquecer de considerar que a diferença pode ser x−y ou y−x; aqui assumimos x>y, mas o resultado final é o mesmo.
Para resolver o sistema, precisamos expressar uma variável em função da outra. Da equação x−y=3, isolamos x, pois é mais simples.
Por que esta fórmula: Isolar x nos dá uma expressão que podemos substituir na equação da área, transformando o sistema em uma equação do segundo grau.
De onde vem cada valor: = passo 1: incógnita do sistema · = passo 1: incógnita do sistema · = passo 1: diferença entre os lados
Isolar y em vez de x, o que também funciona, mas pode confundir na hora de substituir.
Com x expresso em função de y, substituímos na equação da área para obter uma equação apenas com y. Isso é necessário para encontrar o valor numérico de y.
Por que esta fórmula: A equação da área é x·y=108; trocando x por y+3, ficamos com (y+3)·y=108, que é uma equação do segundo grau.
De onde vem cada valor: = passo 2: expressão x = y + 3 · = passo 2: diferença entre os lados · = passo 1: área do retângulo
Esquecer de aplicar a propriedade distributiva corretamente, resultando em y² + 3y = 108.
Para resolver a equação, precisamos colocá-la na forma padrão ax²+bx+c=0. Isso permite usar a fórmula de Bhaskara ou fatoração.
Por que esta fórmula: A equação (y+3)·y=108 é equivalente a y²+3y=108; subtraindo 108 dos dois lados, obtemos a forma padrão.
De onde vem cada valor: = passo 3: produto y·y · = passo 3: produto 3·y · = passo 3: subtração de 108
Errar o sinal ao passar o 108 para o outro lado; deve ser -108.
Precisamos encontrar o valor de y que satisfaz a equação. Como é uma equação do segundo grau, usamos a fórmula de Bhaskara.
Por que esta fórmula: A fórmula de Bhaskara resolve qualquer equação do tipo ax²+bx+c=0, dando as raízes. Aqui, a=1, b=3, c=-108.
De onde vem cada valor: = passo 4: coeficiente de y² = 1 · = passo 4: coeficiente de y = 3 · = passo 4: termo independente = -108
Esquecer de considerar a raiz negativa; como y é um comprimento, só a positiva serve.
Com y conhecido, usamos a relação x = y + 3 para encontrar x. Isso é necessário para ter as duas dimensões do retângulo.
Por que esta fórmula: A diferença entre os lados é 3, então o lado maior é o menor mais 3.
De onde vem cada valor: = passo 5: y = 9 · = passo 1: diferença entre os lados
Usar y = -12 (raiz negativa) e obter x = -9, o que não faz sentido.
Com os dois lados, podemos calcular o perímetro, que é a soma de todos os lados do retângulo. O perímetro é o que a questão pede.
Por que esta fórmula: O perímetro de um retângulo é 2 vezes a soma da base com a altura, pois há dois lados de cada medida.
De onde vem cada valor: = passo 6: x = 12 cm · = passo 5: y = 9 cm
Esquecer de multiplicar por 2 e responder apenas a soma dos lados (21 cm).
Resposta: 42 cm (alternativa D)
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