Matemática · VUNESP · 2023 | Questão sqc-vu074781

Juros Simples: tempo para duplicar o capital

Gabarito: letra A. No regime de juros simples, o montante é dado por $M = C \cdot (1 + i \cdot n)$ . Para duplicar o capital, fazemos $M = 2C$ , o que leva a $1 + i \cdot n = 2$ , ou seja, $n = \frac{1}{i}$ . Com taxa mensal de 0,8% ( $i = 0,008$ ), obtemos $n = \frac{1}{0,008} = 125$ meses, que equivalem a 10 anos e 5 meses.

A questão explora a relação fundamental dos juros simples: os juros são sempre calculados sobre o capital inicial, de modo que o montante cresce linearmente com o tempo. Para que o capital seja duplicado, os juros acumulados devem ser iguais ao próprio capital ( $J = C$ ). Como $J = C \cdot i \cdot n$ , temos $C \cdot i \cdot n = C$ , simplificando para $i \cdot n = 1$ , logo $n = \frac{1}{i}$ . Esse é o atalho que resolve a questão sem precisar de valores numéricos para o capital — o tempo depende apenas da taxa.

A taxa de 0,8% ao mês deve ser convertida para a forma unitária: $0,8\% = \frac{0,8}{100} = 0,008$ . Substituindo na fórmula:

n = \frac{1}{0,008} = 125 \text{ meses}

Agora, convertemos 125 meses em anos e meses. Como 1 ano tem 12 meses, dividimos 125 por 12:

125 \div 12 = 10 \text{ anos e } 5 \text{ meses}

(pois $10 \times 12 = 120$ e $125 - 120 = 5$ ). Portanto, o período mínimo é de 10 anos e 5 meses.

NÃO CAIA NESSA!

A banca não quer que você decore a fórmula, mas que perceba que, em juros simples, o tempo para duplicar é o inverso da taxa unitária. O erro mais comum é aplicar a fórmula de juros compostos ( $M = C(1+i)^n$ ) e tentar resolver com logaritmos, o que levaria a um resultado diferente (e a um tempo maior). Fique atento: o enunciado diz explicitamente "regime de juros simples", então a relação linear é a correta.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O cálculo correto: $n = \frac{1}{0,008} = 125$ meses = 10 anos e 5 meses. A alternativa espelha exatamente o resultado da fórmula, com a conversão correta de meses para anos e meses.

Alternativa B — ❌ Incorreta

10 anos e 11 meses correspondem a 131 meses. Esse valor seria obtido se a taxa fosse aproximadamente 0,763% ao mês ( $\frac{1}{131} \approx 0,00763$ ), o que não é o caso. A banca provavelmente induz a um erro de conversão: 125 meses ÷ 12 = 10,416 anos, e o candidato pode arredondar incorretamente para 10 anos e 11 meses (considerando 0,416 × 12 ≈ 5, mas errando na conta).

Alternativa C — ❌ Incorreta

11 anos e 5 meses correspondem a 137 meses. Esse valor seria necessário se a taxa fosse $\frac{1}{137} \approx 0,73\%$ ao mês, menor que a taxa dada. O erro aqui é provavelmente usar a taxa de 0,8% como 0,8 (em vez de 0,008), o que daria $n = \frac{1}{0,8} = 1,25$ meses, e depois converter erroneamente para anos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

11 anos e 11 meses correspondem a 143 meses. Esse valor seria necessário se a taxa fosse $\frac{1}{143} \approx 0,699\%$ ao mês. O erro pode vir de uma confusão entre juros simples e compostos, ou de um arredondamento incorreto na divisão de 125 por 12.

Alternativa E — ❌ Incorreta

12 anos e 5 meses correspondem a 149 meses. Esse valor seria necessário se a taxa fosse $\frac{1}{149} \approx 0,671\%$ ao mês. Novamente, é um distrator que não corresponde a nenhum cálculo direto com a taxa de 0,8%.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de duplicação em juros simples, lembre-se da relação direta: o tempo necessário é o inverso da taxa unitária. Ou seja, $n = \frac{1}{i}$ . Isso evita montar a equação completa toda vez. Por exemplo, com taxa de 2% ao mês, o tempo seria $\frac{1}{0,02} = 50$ meses. Esse atalho é válido apenas para juros simples; em juros compostos, a relação é logarítmica.

Gabarito: letra A