Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — VUNESP 2023

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 330 alunos por escola (alternativa C).

A ideia por trás

A média aritmética é uma medida que resume um conjunto de valores em um único número representativo: somam-se todos os valores e divide-se pela quantidade de elementos. No contexto, queremos saber quantos alunos, em média, cada escola de Ensino Fundamental tem, então precisamos do total de alunos do Fundamental e do número de escolas. O enunciado não dá o total diretamente, mas fornece duas relações entre as matrículas do Fundamental (F) e do Médio (M): a soma e a diferença. Essas duas relações formam um sistema de equações lineares, que pode ser resolvido pelo método da adição: somando as equações, uma incógnita é eliminada e encontramos o valor da outra. Nesta questão, somar as equações elimina M e revela F, que é o total de alunos do Fundamental; depois, basta dividir pelo número de escolas para obter a média.

O que a questão dá

• total de matrículas (Fundamental + Médio) = 4617

• diferença (Fundamental - Médio) = 2593

• número de escolas de Ensino Fundamental = 11

O que queremos: o número médio de alunos matriculados no Ensino Fundamental por estabelecimento

Passo 1 — Montar o sistema de equações

O enunciado dá duas informações sobre as matrículas do Fundamental (F) e do Médio (M): a soma é 4617 e a diferença (F - M) é 2593. Essas duas frases viram duas equações, formando um sistema. Precisamos resolver esse sistema para descobrir quantos alunos há no Fundamental.

Por que esta fórmula: Um sistema de equações é usado quando temos duas incógnitas e duas relações entre elas. Aqui, as relações são a soma e a diferença, então montamos: F + M = 4617 F - M = 2593

De onde vem cada valor: $F$ = enunciado: número de matrículas no Ensino Fundamental (incógnita) · $M$ = enunciado: número de matrículas no Ensino Médio (incógnita) · $4617$ = enunciado: total de matrículas somando Fundamental e Médio · $2593$ = enunciado: diferença entre Fundamental e Médio

Passo 2 — Somar as duas equações

Para resolver o sistema, o método mais direto é somar as equações, porque o M aparece com sinais opostos (+M e -M) e se cancela. Isso deixa uma equação só com F, que é o que queremos.

Por que esta fórmula: Somando membro a membro: (F + M) + (F - M) = 4617 + 2593. Do lado esquerdo, M - M = 0, então sobra 2F. Do lado direito, somamos os números.

De onde vem cada valor: $2F$ = soma de F + F das duas equações · $4617$ = passo 1: primeira equação · $2593$ = passo 1: segunda equação

Passo 3 — Isolar F dividindo por 2

A equação 2F = 7210 diz que o dobro do número de alunos do Fundamental é 7210. Para achar F, dividimos os dois lados por 2, pois a divisão é a operação inversa da multiplicação.

Por que esta fórmula: Se 2F = 7210, então F = 7210 ÷ 2. Isso porque dividir por 2 'desfaz' a multiplicação por 2.

De onde vem cada valor: $7210$ = passo 2: resultado da soma · $2$ = coeficiente de F na equação

Passo 4 — Calcular a média por escola

Agora sabemos que há 3605 alunos no Ensino Fundamental. A média por escola é o total de alunos dividido pelo número de escolas, porque a média distribui igualmente o total entre as unidades.

Por que esta fórmula: A média aritmética é dada por: média = total / quantidade. Aqui, total = F = 3605 e quantidade = 11 escolas.

De onde vem cada valor: $F$ = passo 3: 3605 alunos · $\text{número de escolas}$ = enunciado: 11 escolas

Passo 5 — Comparar com as alternativas

O resultado 327,72 não está exatamente nas opções, então precisamos escolher a mais próxima. As alternativas são 320, 325, 330, 335 e 340. A distância de 327,72 até 330 é 2,28, enquanto até 325 é 2,72, até 320 é 7,72, etc. Portanto, 330 é a mais próxima.

Resposta: 330 alunos por escola (alternativa C)